Bisectriz

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Construcción gráfica con regla y compás.

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.

Propiedades[editar]

  • Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los 2 lados del ángulo
  • Dos rectas, al intersecarse, determinan cuatro ángulos consecutivos y sus bisectrices, que pasan por el punto de intersección, forman cuatro ángulos rectos consecutivos .
Bisectriz interior-exterior.png

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.

  • La bisectriz de un ángulo, como rayo, con cada uno de los lados forma dos ángulos con lado común e iguales, cada uno de ellos es la mitad del original.[1]

Aplicación en triángulos[editar]

Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Bisectrices.png

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (A,C) y (B,C), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.

Las bisectrices interiores, una respecto a cada ángulo se denotan b_A, b_B, b_C y las bisectrices exteriores se denotan b^e_A, b^e_B, b^e_C [2]

  • La bisectriz b_A determina sobre el lado BC dos segmentos m y n que cumplen la proporción \frac{m}{n}= \frac{b}{c} [3]

Longitud[editar]

  1. Para bisectriz interior  b_A = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)} siendo  p = \frac{a+b+c}{2} el semiperímetro.
  2. Para la bisectriz exterior  b^e_A = \frac{2}{b-c}\sqrt{bc(p-b)(p-c)} [4] .

Para la bisectriz de los otros ángulos se sigue el patrón del caso dado, contraponiendo los otros elementos, de manera cíclica.

Propiedades en un triángulo inscrito[editar]

Circbisec.svg

Considere el triángulo A,B,C y la circunferencia circunscrita. La mediatriz M,N, del lado B,C corta el arco B,M,C en su punto medio. Como el ángulo inscrito B,A,C subtiende dicho arco, los ángulos B,A,M y M,A,C son iguales y la recta A,M resulta ser la bisectriz del ángulo B,A,C. Las rectas A,N y A,M son ortogonales, porque el lado M,N del triángulo A,M,N es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta A,N es bisectriz del ángulo exterior al triángulo A,L,C en el vértice A.

Por lo anteriormente expuesto: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita.

Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos.GF FG

Referencias y notas[editar]

  1. Proposición comprobable directamente
  2. Alencar. Exercícios de geometria
  3. G. M.Bruño. Elementos de geometría
  4. Alencar. Idem

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]