Bisectriz

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Construcción gráfica con regla y compás.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida.[1]​ La bisectriz Es una recta si se considera como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan, es decir, están a la misma distancia de los lados del ángulo bisecado.

Propiedades[editar]

  • La bisectriz es el eje de simetría del ángulo.
    • Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo.

Observación[editar]

  • Dos rectas, al intersecarse, determinan cuatro ángulos consecutivos y sus bisectrices, que pasan por el punto de intersección, forman cuatro ángulos rectos consecutivos .
Bisectriz interior-exterior.png

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.

Bisectrices en el triángulo[editar]

  • En un triángulo isósceles el eje de simetría contiene una bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.
  • En un triángulo equilátero cada eje de simetría contiene un bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.
Bisectriz como lugar geométrico de los centro de las circunferencias tangentes a los lados del ángulo.
  • Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
Bisectrices.png

Longitud[editar]

  1. Para bisectriz interior siendo el semiperímetro.
  1. Bisctriz interior del ángulo A: , en función de los tres lados a,b y c. [2]
  2. Para la bisectriz exterior .[3]

Para la bisectriz de los otros ángulos se sigue el patrón del caso dado, contraponiendo los otros elementos, de manera cíclica.

Propiedades en un triángulo inscrito[editar]

Circbisec.svg

Considere el triángulo A,B,C y la circunferencia circunscrita. La mediatriz M,N, del lado B,C corta el arco B,M,C en su punto medio. Como el ángulo inscrito B,A,C subtiende dicho arco, los ángulos B,A,M y M,A,C son iguales y la recta A,M resulta ser la bisectriz del ángulo B,A,C. Las rectas A,N y A,M son ortogonales, porque el lado M,N del triángulo A,M,N es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta A,N es bisectriz del ángulo exterior al triángulo A,L,C en el vértice A.

Por lo anteriormente expuesto: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita.

Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos.GF FG

Ecuaciones de las bisectrices[editar]

En el plano cartesiano[editar]

Sean la rectas

  1. R_1 cuya ecuación normal es xcosμ + y senμ = p
  2. R_2 siendo su ecuación normal xcosω + y senω = q

En tal caso la ecuación cartesiana en el plano de las rectas bisectrices, se hallan sumando y restando las ecuaciones de L_1 y L_2

Ejemplo

Sean

R_1: 4x+3y -8 = 0; normalizando
R_2: 3x -4y +12 = 0, cuya ecuación normal es
Sumando las ecuaciones : , ecuación de la recta bisectriz L_1
Restando las ecuaciones : ecuación de la bisectriz L_2 [4]

En el espacio En[editar]

Sean las ecuaciones vectoriales.

R_1 M + αu, donde u es vector unitario director, α recorre ℝ, M punto de Rn está de la recta L_1
R_2 N+ βv, siendo v un vector director unitario, β cualquier número real, N punto de Rn está de la recta L_2

Entonces las las ecuaciones vectoriales de las rectas bisectrices de las rectas L_1 y L_2, que se se cortan en el punto H son:

L_1:
L-2: [5]

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «Bisectriz». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7. 
  2. Bronstein y otro: Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes
  3. Alencar. Exercícios de geometria
  4. Pastor-Santaló-Balanzat: Geometría analítica, Edición Revolucionaria, La Habana /1968
  5. Haaser y otros. Análisis matemático II, Trillas México

Enlaces externos[editar]