Bisectriz

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Construcción gráfica con regla y compás.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida.[1]​ Es una recta si se considera como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan, es decir, están a la misma distancia de los lados del ángulo bisecado.

Propiedades

  • La bisectriz es el eje de simetría del ángulo
    • Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo

Observación

  • Dos rectas, al intersecarse, determinan cuatro ángulos consecutivos y sus bisectrices, que pasan por el punto de intersección, forman cuatro ángulos rectos consecutivos .
Bisectriz interior-exterior.png

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.

Bisectrices en el triángulo

  • En un triángulo isósceles el eje de simetría contiene una bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.
  • En un triángulo equilátero cada eje de simetría contiene un bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.
Bisectriz como lugar geométrico de los centro de las circunferencias tangentes a los lados del ángulo.
  • Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
Bisectrices.png

Relación métrica

  • ab = mn + d2, siendo m, n los segmentos que determina la bisectriz interna d, sobre el lado c = m+n

Longitud

  1. Para bisectriz interior siendo el semiperímetro.
  1. Bisctriz interior del ángulo A: , en función de los tres lados a,b y c. [2]
  2. Para la bisectriz exterior .[3]

Para la bisectriz de los otros ángulos se sigue el patrón del caso dado, contraponiendo los otros elementos, de manera cíclica.

Propiedades en un triángulo inscrito

Circbisec.svg

Considere el triángulo A,B,C y la circunferencia circunscrita. La mediatriz M,N, del lado B,C corta el arco B,M,C en su punto medio. Como el ángulo inscrito B,A,C subtiende dicho arco, los ángulos B,A,M y M,A,C son iguales y la recta A,M resulta ser la bisectriz del ángulo B,A,C. Las rectas A,N y A,M son ortogonales, porque el lado M,N del triángulo A,M,N es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta A,N es bisectriz del ángulo exterior al triángulo A,L,C en el vértice A.

Por lo anteriormente expuesto: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita.

Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos.

Ecuaciones de las bisectrices

En el plano cartesiano

Sean la rectas

  1. R_1 cuya ecuación normal es xcosμ + y senμ = p
  2. R_2 siendo su ecuación normal xcosω + y senω = q

En tal caso la ecuación cartesiana en el plano de las rectas bisectrices, se hallan sumando y restando las ecuaciones de L_1 y L_2

Ejemplo

Sean

R_1: 4x+3y -8 = 0; normalizando
R_2: 3x -4y +12 = 0, cuya ecuación normal es
Sumando las ecuaciones : , ecuación de la recta bisectriz L_1
Restando las ecuaciones : ecuación de la bisectriz L_2 [4]

En el espacio En

Sean las ecuaciones vectoriales.

R_1 M + αu, donde u es vector unitario director, α recorre ℝ, M punto de Rn está de la recta L_1
R_2 N+ βv, siendo v un vector director unitario, β cualquier número real, N punto de Rn está de la recta L_2

Entonces las las ecuaciones vectoriales de las rectas bisectrices de las rectas L_1 y L_2, que se se cortan en el punto H son:

L_1:
L-2: [5]

Véase también

Notas y referencias

  1. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «Bisectriz». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7. 
  2. Bronstein y otro: Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes
  3. Alencar. Exercícios de geometria
  4. Pastor-Santaló-Balanzat: Geometría analítica, Edición Revolucionaria, La Habana /1968
  5. Haaser y otros. Análisis matemático II, Trillas México

Enlaces externos