Polinomio irreducible

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En teoría de Anillos, dado un dominio de integridad R, un polinomio no nulo y no unidad (es decir, sin inverso multiplicativo en R[x]) se dice irreducible si en cualquier factorización de la forma en el dominio , uno de los poliniomios o es unidad. Cuando el dominio de integridad en cuestión es un campo, el que sea un elemento irreducible de equivale a que este no pueda factorizarse como el producto de dos polinomios de grado menor estricto al suyo. Es decir, si entonces ha de ser o (es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante).

Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro.

El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto de los números complejos (también cuerpo), el conjunto de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro).

Ejemplos[editar]

Los cinco polinomios siguientes demuestran algunas características elementales de los polinomios reducibles e irreducibles, dependiendo del dominio de integridad donde estén definidos:

,
,
,
,
.
  • Sobre el anillo de números enteros, los primeros dos polinomios son reducibles, pero los tres últimos son irreducibles (el tercero no tiene coeficientes del número entero).
  • Sobre el cuerpo de números racionales, los primeros tres polinomios son reducibles, pero los otros dos son irreducibles.
  • Sobre el cuerpo de números reales, los primeros cuatro polinomios son reducibles, pero el quinto sigue siendo irreducible.
  • Sobre el cuerpo de números complejos, los cinco polinomios son reducibles. De hecho en , cada polinomio no-constante se puede descomponer en factores lineales
donde es el coeficiente principal del polinomio y son los ceros de . Por lo tanto, todos los polinomios irreducibles son de grado 1.

En el caso del cuerpo , tampoco pueden ser reducibles aquellos polinomios de grado 2 con discriminante negativo, ya que a pesar de ser factorizado por polinomios de menor grado que éste, y mayor o igual a 0, no tienen sus coeficientes dentro del cuerpo de los reales. Éste es el teorema fundamental del álgebra.

Criterios de irreductibilidad[editar]

Para demostrar si un polinomio es irreducible se pueden aplicar varios criterios, entre los que se encuentran el criterio de Eisenstein, el criterio de reducción o el Lema de Gauss. Aparte, todos los polinomios primitivos son irreducibles, aunque el recíproco no es cierto. Un polinomio irreducible es polinomio primitivo si y solo si cuando p es primo y x es un elemento de orden .

Polinomios irreducibles de Z[x][editar]

  • Un polinomio es irreducible sobre , si y sólo si también es irreducible.
  • Trivialmente un polinomio de segundo grado, que no tenga a 1 o -1 como raíz, sólo puede ser reducible si su término independiente no es un número primo: , si , entonces la reducibilidad implica que el término independiente tiene dos divisores no triviales y por tanto no puede ser primo.

Polinomios irreducibles de Q[x][editar]

Sea f(x) un polinomio primitivo. Así pues, si f(x) es irreducible sobre , entonces también es irreducible considerado sobre .[1]

Polinomios irreducibles de R[x][editar]

Los polinomios irreducibles sobre son los binomios y los polinomios de grado 2, tales que su discriminante sea negativo, es decir:

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. F. Zaldívar, 1996, p. 34

Bibliografía[editar]

  • Zaldívar, Felipe (1996). «1. Anillos». En UAM Iztapalapa, ed. Teoría de Galois (1 edición). México: Anthropos. pp. 33-41. ISBN 84-7658-502-0. 

Enlaces externos[editar]