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Este aviso fue puesto el 11 de diciembre de 2011.
Núcleo e imagen de un operador lineal
L
:
V
→
W
{\displaystyle L:V\to W}
En matemáticas y especialmente en álgebra lineal , dada la transformación lineal
L
:
V
→
W
{\displaystyle L:V\to W}
kernel o núcleo
L
{\displaystyle L}
Ker
(
L
)
{\displaystyle \operatorname {Ker} (L)}
Nuc
(
L
)
{\displaystyle \operatorname {Nuc} (L)}
conjunto de todos los vectores en
V
{\displaystyle V}
L
{\displaystyle L}
vector nulo de
W
{\displaystyle W}
Ker
(
L
)
{\displaystyle \operatorname {Ker} (L)}
Ker
(
L
)
=
{
v
→
∈
V
:
L
(
v
→
)
=
0
→
W
}
{\displaystyle \operatorname {Ker} (L)=\{{\vec {v}}\in V:L({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}\}}
Considere la función
f
:
R
2
→
R
(
x
,
y
)
↦
x
−
y
{\displaystyle {\begin{aligned}f:\mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto x-y\end{aligned}}}
que es lineal cumple que para
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
∈
R
2
{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}
f
(
α
(
x
1
,
y
1
)
+
(
x
2
,
y
2
)
)
=
f
(
α
x
1
+
x
2
,
α
y
1
+
y
2
)
=
(
α
x
1
+
x
2
)
−
(
α
y
1
−
y
2
)
=
(
α
x
1
−
α
y
1
)
+
(
x
2
−
y
2
)
=
α
(
x
1
−
y
1
)
+
(
x
2
−
y
2
)
=
α
f
(
x
1
,
y
1
)
+
f
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(\alpha (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))&=f(\alpha x_{1}+x_{2},\alpha y_{1}+y_{2})\\&=(\alpha x_{1}+x_{2})-(\alpha y_{1}-y_{2})\\&=(\alpha x_{1}-\alpha y_{1})+(x_{2}-y_{2})\\&=\alpha (x_{1}-y_{1})+(x_{2}-y_{2})\\&=\alpha f(x_{1},y_{1})+f(x_{2},y_{2})\end{aligned}}}
Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden pues
Ker
(
f
)
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
f
(
x
,
y
)
=
0
}
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
x
−
y
=
0
}
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
x
=
y
}
=
{
(
x
,
x
)
∈
R
2
:
x
∈
R
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ker} (f)&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:f(x,y)=0\}\\&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x-y=0\}\\&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x=y\}\\&=\{(x,x)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in \mathbb {R} \}\end{aligned}}}
en concreto el
Ker
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {Ker} (f)}
Ker
(
f
)
=
{
(
x
,
x
)
∈
R
2
:
x
∈
R
}
{\displaystyle \operatorname {Ker} (f)=\{(x,x)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in \mathbb {R} \}}
que es el mismo que la variedad lineal generada por el vector (1,1), que describe la recta
y
=
x
{\displaystyle y=x}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
En el espacio euclídeo de dimensión 3, el núcleo de una forma lineal está formado por todos aquellos vectores que son ortogonales a uno dado. Por ejemplo, dado el vector a = (1,2,3) , la forma lineal dada por el producto escalar
a
⋅
x
{\displaystyle a\cdot x}
(
1
2
3
)
⋅
(
x
1
x
2
x
3
)
=
0
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=0}
que equivale a la ecuación lineal :
x
1
+
2
x
2
+
3
x
3
=
0
{\displaystyle x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0}
La solución es otro subespacio de dimensión 2, que se puede describir por ejemplo como el subespacio generado por los vectores:
L
(
(
−
2
,
1
,
0
)
,
(
−
3
,
0
,
1
)
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left((-2,1,0),(-3,0,1)\right)}
Dado un operador lineal
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
A
{\displaystyle A}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
nulidad de
A
{\displaystyle A}
reducir por filas la matriz
A
{\displaystyle A}
teorema rango-nulidad establece que el rango más la nulidad es igual al número de columnas de la matriz.
Datos: Q2914509