Función compuesta

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g  f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g  f)(a)=@.

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta gf: XZ expresa que (gf)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente a X.

A gf se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Definición[editar]

De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (gf ): XZ como (gf)(x) = g (f(x)), para todos los elementos de X.

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Commutative diagram for morphism.svg

Propiedades[editar]

  • La composición de funciones es asociativa, es decir:

  • La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².
  • La inversa de la composición de dos funciones es:

Ejemplo[editar]

Sean las funciones:

La función compuesta de g y de f que expresamos:

La interpretación de (fg) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

y después aplicamos f a z para obtener

Función bien definida[editar]

La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:

  1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (gf) cumple la condición de existencia.
  2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).

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