Fórmula de Faà di Bruno

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La fórmula de Faà di Bruno es una identidad que generaliza la regla de la cadena a derivadas de orden superior, llamada así en honor al matemático italiano Francesco Faà di Bruno (1825-1888) , aunque él no fue el primero en afirmar o demostrar la fórmula. En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) declaró la fórmula en un libro de cálculo,[1] considerada la primera referencia publicada al respecto sobre el tema.[2]

Quizás, la forma más conocida de la fórmula Faa di Bruno dice que:

,

donde la suma es sobre todas las n-tuplas de enteros no negativos (m1, …, mn) que satisfacen la restricción:

.

A veces, para darle un patrón memorable, esta está escrita en una forma en la que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se discuten a continuación son menos explícitos:

.

Combinando los términos con el mismo valor de m1 + m2 + ... + mn = k y notando que m j tiene que ser cero para j > n − k + 1 proporciona una fórmula algo más sencilla en términos de polinomios de Bell Bn,k(x1,...,xnk+1):

.

Referencias[editar]

  1. Arbogast, L.F.A. (1800). Du calcul des derivations. Strasbourg: Levrault. 
  2. Craik, A.D.D. (2005). «Prehistory of Faà di Bruno's Formula». American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 112 (2): 217-234. doi:10.2307/30037410. JSTOR 30037410. 

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