Función biyectiva

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Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que |X|=|Y|.

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función f:


   \begin{array}{rrcl}
      f : & X & \to & Y      \\
          & x & \to & y = f(x)
   \end{array}

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:


   \forall y \in Y
   \; : \quad
   \exists !\ x\in X
   \; / \quad
   f(x) = y

Es decir, si para todo y de Y se cumple que existe un único x de X, tal que la función evaluada en x es igual a y.

Dados dos conjuntos X e Y finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si X e Y tienen el mismo número de elementos.

Teorema[editar]

Si f\, es una función real biyectiva, entonces su función inversa f^{-1}\, existe y también es biyectiva.

Ejemplo[editar]

La función:


   f(x) =6x + 9 \,

es biyectiva.

Luego, su inversa:


   f^{-1}(y) = \frac{y - 9}{6} \,

también lo es.[1]

El siguiente diagrama de grafos bipartitos se puede ver cuando la función es biyectiva:

Funciones Inyectiva No inyectiva
Sobreyectiva
Correspon 1602.svg
Biyectiva
Correspon 1502.svg
No sobreyectiva Correspon 1402.svg Correspon 1302.svg

Cardinalidad y biyectividad[editar]

Dados dos conjuntos \scriptstyle A y \scriptstyle B, entre los cuales existe una función biyectiva \scriptstyle f:A \to B tienen cardinales que cumplen:

\mbox{card}(A) = \mbox{card}(B)\,

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Como consecuencia de la afirmación de que toda función biyectiva tiene una inversa también biyectiva, lo cual se puede intuir gráficamente, se deduce analíticamente que el Dominio de toda función biyectiva corresponde a la Imagen de su inversa, y viceversa.

Enlaces externos[editar]