Función inyectiva

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Ejemplo de función inyectiva.

En matemáticas, una función f \colon X \to Y es inyectiva si a elementos distintos del conjunto X (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto Y (imagen) de f. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, dada por f(x)=x^2 no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f(-2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Definición formal[editar]

De manera más precisa, una función f:X\to Y es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:

  • Si a,b son elementos de X tales que f(a)=f(b), necesariamente se cumple a=b.
  • Si a,b son elementos diferentes de X, necesariamente se cumple f(a)\ne f(b)

Simbolicamente,

\forall \, a,b \in X, \ \ f(a)=f(b) \Rightarrow a=b

que es equivalente a su contrarrecíproco

\forall \, a,b \in X, \ \  a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)

Cardinalidad e inyectividad[editar]

Dados dos conjuntos \scriptstyle A y \scriptstyle B, entre los cuales existe una función inyectiva \scriptstyle f:A \to B tienen cardinales que cumplen:

\mbox{card}(A) \le \mbox{card}(B)

Si además existe otra aplicación inyectiva \scriptstyle g:B \to A, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Ejemplos[editar]

  • Para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de inclusión SX (el cual envía cualquier elemento s de S para si mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad XX es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
  • La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
  • La función g : R → R definida por g(x) = x2 no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.
  • La función exponencial exp : RR definida por exp(x) = ex es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
  • El logaritmo natural En la función ln : (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
  • La función g : R → R definida por g(x) = xnx no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).

En términos más generales, cuando X e Y están ambos en la recta real R, a continuación, una función inyectiva f : R → R es aquella cuya gráfica nunca es cruzada por una línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de línea horizontal.

Inyectividad en el espacio euclídeo[editar]

Dada una función \scriptstyle \mathbf{f}:\Omega\subset\R^n\to \R^n diferenciable con continuidad sobre un dominio del espacio euclídeo n-dimensional, pueden establecerse condiciones necesarias y suficientes para decidir cuando esta función es inyectiva. El teorema de la función inversa da una condición no suficiente para que una función diferenciable sea localmente inyectiva:

\det D\mathbf{f} \ne 0

donde:

D\mathbf{f} es la matriz jacobiana de la función.
\det (\cdot) es la función determinante.

Esta condición no es condición suficiente para garantizar la inyectividad de la función (de hecho tampoco es condición necesaria). Para encontrar condiciones suficientes se define el vector desplazamiento asociado a la función como el siguiente campo vectorial:

\mathbf{u}(\mathbf{x})= \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{x}\in \R^n

Esta función se interpreta como la diferencia entre la posición inicial de un punto y la posición final de su imagen. Puede demostrarse que existe una constante \scriptstyle c(\Omega) si se cumple:

\max_{\mathbf{x}\in \bar{\Omega}} \|D\mathbf{u}(\mathbf{x})\| =
\sup_{\mathbf{x}\in \Omega} \|D\mathbf{u}(\mathbf{x})\| < c(\Omega)\le 1

Donde:

\bar{\Omega}, es la clausura topológica del dominio \Omega.

Entonces la función es [globalmente] inyectiva, puede demostrarse que \scriptstyle c(\Omega) = 1 si el dominio \scriptstyle \Omega es convexo, mientras que un dominio no convexo requiere \scriptstyle c(\Omega) < 1

Véase también[editar]