Función inversa (análisis matemático)

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Una función ƒ y su función inversa ƒ–1. Como ƒ aplica a en 3, la función inversa ƒ–1 retorna 3 en a.

En matemáticas, especialmente en análisis matemático, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f-1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f-1 es la función inversa de f.

Definiciones formales[editar]

Sea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función inversa de f, denotada f-1, es la función de dominio J y codominio I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

  • y
  • .

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas[editar]

Función reciproca esquema.png

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

  1. y
  2. ,

entonces:

  • Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
  • Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
  • Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa como definición de función inversa.

Notación alternativa[editar]

La notación tradicional puede ser confusa, ya que puede dar a entender . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número -1:

  • .

Propiedades algebraicas[editar]

Inversión del orden en la composición de funciones.
  • La función inversa de la composición de dos funciones, siempre que tengan su función inversa, viene dada por la fórmula
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,
  • La involución: la función inversa de la función inversa de la función f , si existe, es la misma función f.
Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: y .

Propiedades analíticas de funciones reales de una variable[editar]

Continuidad[editar]

  • f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
  • Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

Gráfica de la función inversa[editar]

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.
  • Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M´(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
  • Las tangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(yf '(x) = 1.

Derivación[editar]

  • f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
  • Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

Ejemplos[editar]

En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.
  • Por construcción misma, la función raíz cuadrada es función inversa de función cuadrática , con dominio restringido a los números reales no negativos, Es decir, cada una de las dos funciones siguientes son una función inversa de la otra:

  • Más generalmente, la funciónraíz positiva de orden n de un número positivo es la función inversa de la función potencia definida por .
  • También por construcción, la función exponencial es la función inversa de la función logaritmo natural.
  • Por definiciones muy adecuadas, arccos, arcsen y arctan son las funciones inversas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que facilita hallar sus derivadas:
Para , , y utilizando se obtiene:
Para , , y utilizando se obtiene:

Se generaliza el concepto de función a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones inversas.

  • En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no puede escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función f:

Aunque la función inversa se puede aproximar mediante desarrollo en serie de Taylor:

Bibliografía[editar]

  • Bartle, Robert G. -Sherbert, Donald R. Introducción al Análisi matematemático de una variable, Noriega Editores, México 1984.
  • Oubiña,Lía : Introducción a la teoría de conjuntos, Eudeba, Buenos Aires.

Véase también[editar]