Función cuadrática

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Un polinomio cuadrático con dos raíces reales (cruces del eje x), y por lo tanto, sin raíces complejas. Algunos otros polinomios cuadráticos tienen su mínimo por encima del eje x, en cuyo caso no posee raíces reales pero sí tiene dos raíces complejas

En álgebra, una función cuadrática, un polinomio cuadrático, o un polinomio de grado 2, es una función polinómica con una o más variables en la que el término de grado más alto es de segundo grado. Por ejemplo, una función cuadrática en tres variables x, y, y z contiene exclusivamente los términos x2, y2, z2, xy, xz, yz, x, y, z, y una constante:

con al menos uno de los coeficientes a, b, c, d, e o f de los términos de segundo grado que no son cero.

Una función cuadrática univariada (variable única) tiene la forma[1]

con una sola variable, en este caso x. La gráfica de una función cuadrática univariada es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y, como se muestra a la derecha.

Si la función cuadrática se establece igual a cero, entonces el resultado es una ecuación cuadrática. Las soluciones a la ecuación univariable se denominan raíces de la función univariable.

El caso bivariable en términos de las variables x e y tiene la forma

con al menos uno de los coeficientes a, b o c no iguales a cero. Una ecuación que establece esta función igual a cero da lugar a una sección cónica (una circunferencia u otra elipse, una parábola o una hipérbola).

En general, puede haber un número arbitrariamente grande de variables, en cuyo caso la superficie resultante se llama cuadrática, pero el término de grado más alto debe ser de grado 2, como x2, xy, yz, etc.

Etimología[editar]

El adjetivo cuadrático proviene de la palabra latina quadrātum ("cuadrado"). Un término como x2 se llama cuadrado en álgebra porque es el área de un cuadrado con lado x.

Terminología[editar]

Coeficientes[editar]

Los coeficientes de un polinomio a menudo se consideran números reales o complejos, pero de hecho, un polinomio se puede definir sobre cualquier anillo.

Grado[editar]

Cuando se usa el término "polinomio cuadrático", a veces se hace referencia a "tener un grado de exactamente 2", y otras veces, a "tener un grado como máximo de 2". Si el grado es inferior a 2, se puede hablar de un "caso degenerado". Por lo general, el contexto permite establecer cuál de los dos significados se utiliza.

A veces, la palabra "orden" se usa con el significado de "grado", por ejemplo, un polinomio de segundo orden.

Variables[editar]

Un polinomio cuadrático puede involucrar una sola variable x (el caso univariable), o múltiples variables como x, y y z (el caso multivariable).

El caso de una variable[editar]

Cualquier polinomio cuadrático de variable única puede escribirse como

donde x es la variable, y a, b y c representan los coeficientes. En álgebra elemental, tales polinomios a menudo surgen en forma de una ecuación cuadrática . Las soluciones a esta ecuación se llaman las raíces del polinomio cuadrático, y se pueden encontrar a través de la factorización, completando el cuadrado, graficando, utilizando el método de Newton, o mediante el uso de la fórmula cuadrática. Cada polinomio cuadrático tiene una función cuadrática asociada, cuyo gráfico es una parábola.

Caso de dos variables[editar]

Cualquier polinomio cuadrático con dos variables puede escribirse como

donde x e y son las variables y a, b, c, d, e y f son los coeficientes. Tales polinomios son fundamentales para el estudio de las secciones cónicas, que se caracterizan por igualar la expresión para f ( x, y ) a cero. Del mismo modo, polinomios cuadráticos con tres o más variables corresponden a superficies cuádricas y a hipersuperficies. En álgebra lineal, los polinomios cuadráticos se pueden generalizar a la noción de una forma cuadrática en un espacio vectorial.

Formas de una función cuadrática de una variable[editar]

Una función cuadrática de una variable se puede expresar en tres formas:[2]

  • se llama la forma estándar.
  • se llama la forma factorizada, donde r1 y r2 son las raíces de la función cuadrática y las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente.
  • se llama la forma del vértice, donde h y k son las coordenadas x e y del vértice, respectivamente.

El coeficiente a es el mismo valor en las tres formas. Para convertir la forma estándar en la forma factorizada, solo se necesita la fórmula cuadrática para determinar las dos raíces r1 y r2. Para convertir la forma estándar en la forma de vértice, se necesita un proceso denominado completar el cuadrado. Para convertir la forma factorizada (o la forma de vértice) en la forma estándar, basta con operar los factores de cada una de ellas.

Gráfico de la función de una variable[editar]

Independientemente del formato, la gráfica de una función cuadrática de una variable es una parábola (como se muestra a la derecha). De manera equivalente, esta es la gráfica de la ecuación cuadrática de dos variables .

  • Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
  • Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.

El coeficiente a controla el grado de curvatura del gráfico; una magnitud mayor de a le da al gráfico una apariencia más cerrada (fuertemente curvada).

Los coeficientes b y a controlan conjuntamente la ubicación del eje de simetría de la parábola (también la coordenada x del vértice), que tiene la expresión:

El coeficiente c controla la altura de la parábola; más específicamente, es la altura de la parábola donde intercepta el eje y.

Vértice[editar]

El vértice de una parábola es el lugar donde pasa de descender a ascender. Por lo tanto, también es un punto máximo o mínimo, donde la inclinación de la curva se anula al cambiar de signo. Si la función cuadrática está en forma de vértice, el vértice es (h, k). Usando el método de completar el cuadrado, se puede convertir la fórmula estándar

en

y entonces, el vértice (h, k) de la parábola en forma estándar es

Si la función cuadrática está en forma factorizada

el promedio de las dos raíces, es decir,

es la coordenada x del vértice, y por lo tanto, el vértice (h, k) es

El vértice también es el punto máximo si a < 0, o el punto mínimo si a > 0.

La línea recta vertical

que pasa a través del vértice es también el eje de simetría de la parábola.

Puntos máximo y mínimo[editar]

Usando cálculo infinitesimal, el punto del vértice, que es un máximo o un mínimo de la función, se puede obtener al encontrar las raíces de la derivada:

x es una raíz de f '(x) si f '(x) = 0, y por lo tanto

con el valor de la función correspondiente

así que de nuevo las coordenadas del punto de vértice, (h, k), se pueden expresar como

Raíces de la función de una variable[editar]

Gráfico de y=ax²+bx+c, donde a y el discriminante (b²-4ac) son positivos, con:
*Raíces e intersección con el eje y (rojo)
*Vértice y eje de simetría (azul)
*Foco y directriz (rosa)
Visualización de las raíces complejas de y=ax²+bx+c: la parábola se gira 180° alrededor de su vértice (naranja). Sus intersecciones en x se giran 90° alrededor de su punto medio, y el plano cartesiano se interpreta como el plano complejo (verde)[3]

Raíces exactas[editar]

Las raíces (o ceros ), r1 y r2, de la función cuadrática de una variable

son los valores de x para los cuales f(x) = 0.

Cuando los coeficientes a, b, y c son reales o complejos, las raíces son

Límite superior en la magnitud de las raíces[editar]

El módulo de las raíces de una cuadrática no puede ser mayor que dónde es la proporción áurea [4]

Raíz cuadrada de una función cuadrática de una variable[editar]

La raíz cuadrada de una función cuadrática de una variable da lugar a una de las cuatro secciones cónicas, casi siempre a una elipse o a una hipérbola.

Si entonces la ecuación describe una hipérbola, como se puede ver al elevar al cuadrado ambos lados. Las direcciones de los ejes de la hipérbola están determinadas por la ordenada del punto mínimo de la parábola correspondiente. Si la ordenada es negativa, entonces el eje mayor de la hipérbola (a través de sus vértices) es horizontal, mientras que si la ordenada es positiva, entonces el eje mayor de la hipérbola es vertical.

Si entonces la ecuación describe un círculo u otra elipse o nada en absoluto. Si la ordenada del punto máximo de la parábola correspondiente es positivo, entonces su raíz cuadrada describe una elipse, pero si la ordenada es negativa, entonces describe un lugar geométrico de puntos vacío.

Iteración[editar]

Para iterar una función , se aplica la función repetidamente, utilizando la salida de una iteración como entrada de la siguiente.

No siempre es posible deducir la forma analítica de , lo que significa la enésima iteración de , dado que el superíndice puede extenderse a los números negativos, refiriéndose a la iteración de la inversa de si existe el inverso. Pero hay algunos casos analíticamente manejables.

Por ejemplo, para la ecuación iterativa

se tiene que

donde

y

Entonces, por inducción, se puede obtener

donde se puede calcular fácilmente como

Finalmente, se tiene que

como solución.

Se puede ver el artículo sobre la conjugación topológica para más detalles sobre la relación entre f y g, y la entrada sobre el polinomio cuadrático complejo para el comportamiento caótico en la iteración general.

La aplicación logística

con el parámetro 2<r<4 puede resolverse en ciertos casos, uno de los cuales es caótico y el otro no. En el caso caótico r = 4, la solución es

donde el parámetro de condición inicial es dado por . Para valores racionales de , después de un número finito de iteraciones se convierte en una secuencia periódica. Pero casi todos son irracionales, y por lo tanto nunca se repite. Entonces se determina que no es periódico y que exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales, por lo que se dice que es caótico.

La solución de la aplicación logística cuando r=2 es

para . Ya que , para cualquier valor de distinto del punto fijo inestable 0, el término tiende a 0 como n tiende a infinito, y entonces tiende al punto fijo estable

Función cuadrática de dos variables[editar]

Una función cuadrática de dos variables es un polinomio de segundo grado de la forma

donde A, B, C, D y E son coeficientes fijos y F es el término constante. Tal función describe una superficie cuadrática. Haciendo igual a cero, se describe la intersección de la superficie con el plano , que es un lugar geométrico de puntos equivalente a una sección cónica.

Mínimo/máximo[editar]

Si la función no tiene máximo o mínimo; Su gráfico forma un paraboloide hiperbólico.

Si la función tiene un mínimo si A>0, y un máximo si A<0; su gráfica forma un paraboloide elíptico. En este caso, el mínimo o máximo se produce en , donde:

Si y la función no tiene máximo o mínimo; y su gráfica forma un cilindro parabólico.

Si y la función alcanza el máximo/mínimo en una recta: un mínimo si A>0 y un máximo si A<0; y su gráfica forma un cilindro parabólico.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. «Quadratic Equation -- from Wolfram MathWorld». Consultado el 6 de enero de 2013. 
  2. Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G. (2007), College Algebra, John Wiley & Sons Inc., p. 205, ISBN 9780471271758 , Search result
  3. «Complex Roots Made Visible – Math Fun Facts». Archivado desde el original el 17 de abril de 2016. Consultado el 1 de octubre de 2016. 
  4. Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]