Ecuación de segundo grado

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Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = 0), las raíces, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

Una ecuación de segundo grado[1] [2] o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

ax^2 + bx + c  = 0,\;\;\mbox{donde}\;a\neq 0

donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las intersecciones o punto tangencial de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje X coinciden con las soluciones reales de la ecuación.

Historia[editar]

Las ecuaciones de segundo grado y su solución de las ecuaciones se conocen desde la antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. Fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones, incluso en el caso de que las dos soluciones sean positivas). La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos. Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones.[cita requerida] Hay que esperar a Évariste Galois para conseguir resolver en general las ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que viene a ser una generalización de los métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado.

La primera gran dificultad pudo surgir en la solución de ecuaciones cuadráticas se dio con la ecuación  x^2 - 2 = 0 en la época de los pitagóricos, al calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 ya que no se podía expresar la raíz cuadrada de dos como razón de dos números enteros. [3] .

En el Renacimiento al resolver  x^2 + 1 = 0 que requiere hallar un número real cuyo cuadrado sea -1, se superó con la adopción de números imaginarios y la definición de la unidad imaginaria i que cumple  i^2 = -1.[4] [5]

Ecuación completa de segundo grado[editar]

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:

x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

Se usa ± para indicar las dos soluciones:

x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} y \ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}
Deducción de la solución
La deducción de la fórmula cuadrática viene de la fórmula de completar el cuadrado:

La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que

ax^2+bx+c=0 \ \Leftrightarrow \ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que  m = \frac{b}{a} y  n = \frac{c}{a} la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:

Desde la ecuación

 x^2+mx+n=0 \,

Aislando n

 x^2 + mx = -n \,

Sumando  \frac{m^2}{4} a ambos términos

x^2+mx+\frac{m^2}{4}=\frac{m^2}{4}-n

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

 \left( x+\frac{m}{2} \right)^2=\frac{m^2}{4}-n

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

 x+\frac{m}{2} = \pm \sqrt{\frac{m^2}{4}-n}

Aislando x\, y simplificando la fracción de la raíz

x = \frac{-m}{2}\pm \sqrt{\frac{m^2 - 4n}{4}}

Simplificando a común denominador

x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2-4n}}{2}

si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }


La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí:

  • Partimos de nuestra ecuación simplificada:
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
  • Pasamos al otro término \frac{c}{a}:
 x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
  • Sumamos  \frac{b^2}{4 a^2} para obtener un binomio desarrollado:
 x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4 a^2} = \frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a}
  • El trinomio a la izquierda es un cuadrado perfecto; simplificando a común denominador el segundo miembro:
 \, \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos:

  x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}

Moviendo \frac{b}{2a} y aplicando la raíz al denominador:

 x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Simplificando a común denominador:

x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Discriminante[editar]

Ejemplo del signo del discriminante:
\Delta < 0: sin raíces reales. sin embargo dos raíces complejas conjugadas.
\Delta = 0: una raíz real, pero de (multiplicidad 2)
\Delta > 0: dos raíces reales distintas.

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con la letra griega Δ (delta) en mayúscula:

\Delta = b^2 - 4ac.\,

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.

  • Si \Delta > 0 hay dos soluciones reales y diferentes (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):
\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}.
  • Si \Delta = 0 hay una solución real doble (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):
-\frac{b}{2a} . \,\!
  • Si \Delta < 0 hay dos soluciones complejas conjugadas (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):
 \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},
donde i es la unidad imaginaria.

Forma reducida de la ecuación completa[editar]

Cuando el término principal es 1 la expresión queda como  x^2 + px + q =0 cuyas raíces son:

 x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 -q}

Ecuaciones incompletas[editar]

Sin término independiente[editar]

Son de la forma:

 ax^2+ bx = 0, cuyas raíces son  x_1 = 0; x_2 = \frac{-b}{a}

Sin término lineal[editar]

Son de la forma  ax^2+ c = 0, cuyas raíces son reales opuestos o imaginarios puros opuestos.

Si  \frac {-c}{a} > 0 las raíces son reales: x_1= \sqrt {\frac {-c}{a}} o  x_2 = -\sqrt {\frac {-c}{a}}

Si  \frac {-c}{a} < 0 las raíces son imaginarias puras: x_1= i\sqrt {\frac {c}{a}} o  x_2 = -i\sqrt {\frac {c}{a}}

Solo el término de segundo grado[editar]

 ax^2 = 0 cuya raíz doble es igual a 0

Completa con coeficiente lineal par[editar]

En este caso aparece como coeficiente del término de primer grado un número par 2m y la ecuación es

 ax^2 + 2mx + n =0

, siendo las raíces

 x_{1,2} = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - an}}{a}

Completa reducida con coeficiente lineal par[editar]

En este caso el coeficiente principal es 1; el coeficiente lineal es par y asume la forma

 x^2 + 2mx + n =0

cuyas raíces son

 x_{1,2} = -m \pm \sqrt{m^2 -n}

Ecuación bicuadrada[editar]

Éstas son un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:

 ax^4 + {bx^2}^{} + c  = 0

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable  {x^2}^{}=u
Con lo que nos queda:  {au^2}^{} + bu + c  = 0 El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

 u_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \qquad
u_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:

 x_1 = +\sqrt{u_1}
x_2 = -\sqrt{u_1}
x_3 = +\sqrt{u_2}
x_4 = -\sqrt{u_2}

Ecuación bicuadrada simétrica[editar]

Que asume la forma

\alpha x^4 + \beta x^2 + \alpha = 0

[6]

Teorema de Cardano Vieta[editar]

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces x_1 , x_2 \, , podemos construir el binomio a partir de estas con:

 (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0  \,
 x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0\,
 a x^2 - a (x_1 + x_2)x + a x_1 x_2 = 0\,
 a x^2 +bx + c = 0\,

De lo que se deduce:

Suma de raíces

 x_1 + x_2 = - \frac{ b }{ a } \,
Demostración a partir de Cardano Vieta
  • Partiendo de igualar los términos del mismo grado
 - a (x_1 + x_2)x  = bx \,
  • Se despeja la suma y se divide por x
 (x_1 + x_2)  = - \frac{ b }{ a } \,

Producto de raíces

 x_1 \cdot  x_2 = \frac{c}{a} \,
Demostración a partir de Cardano Vieta
  • Partiendo de igualar los términos del mismo grado
 a x_1 x_2  = c \,
  • Se despeja el producto de raíces:
 x_1 x_2  = \frac{ c }{ a } \,

Observación:

 (x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2=4(x_1 \cdot x_2) \,
Desarrollando los binomios:
 x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 - (x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2) \,
  • Donde finalmente queda:
 4 x_1 x_2 \,

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Ecuación cuadrática», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 
  2. Weisstein, Eric W. «Ecuación cuadrática». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  3. Hoffmann. Historia de la matemática
  4. Birkhoff- Mac Lane. Álgebra moderna
  5. Otto Bekken. Una breve historia del álgebra
  6. Tsipkin: Manual de matemáticas

Enlaces externos[editar]

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