Raíz de una función

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Si busca la raíz enésima de un número, vea Función raíz.
ƒ(x)=cosx en el intervalo [-2π,2π], las intersecciones con el eje x de las coordenadas cartesianas (las raíces) están indicadas en rojo: -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2.

En matemática, se conoce como raíz (o cero) de un polinomio o de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:

f(x) = 0 \,.

Por ejemplo, dada la función:

f(x) = x^2 - 6x + 8 \,

Planteando y resolviendo la ecuación:

0 = x^2 - 6x + 8 \,

Se tiene que 2 y 4 son raíces (ver ecuación de segundo grado) ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

Buscando raíces[editar]

Raíces simples y múltiples[editar]

Dada una función f que tiene una raíz r entonces se puede escribir dicha función como:

f(x) = (x-r)f_1(x)\,

Entonces se dice que:

  • La raíz es simple si f_1(r)\ne 0\,
  • La raíz es múltiple si f_1(r)= 0\,, en este último caso la raíz se dice de orden n, siendo \scriptstyle n>1\,, cuando se puede escribir:

f(x) = (x-r)^nf_n(x),\quad \mbox{con}\ f_n(r)\ne 0\,

Con la definición anterior, pueden existir ceros múltiples de orden no finito. Por ejemplo la función definda como:

f(x) = \begin{cases} \exp(-1/x^2) & x > 0\\ 0 & x = 0 \end{cases}

Tiene un cero múltiple en x=0, ya que:

f(x)=(x-0)f_1(x) \qquad f_1(x) = \begin{cases} \cfrac{\exp(-1/x^2)}{x^n} & x > 0\\ 0 & x = 0 \end{cases},\ n\in \mathbb{N}

Como n puede tomarse tan grande como se quiera en la expresión anterior, se sigue que esa función no tiene un cero de orden finito.

Métodos para buscar raíces[editar]

Teoremas sobre raíces[editar]

Dada una función real o compleja el número de raíces es siempre numerable, pudiendo ser cero, número finito o un número infinito numerable.

  • El teorema fundamental del álgebra afirma que cualquier polinomio de grado n sobre \scriptstyle \mathbb{C}\, tiene a lo sumo n raíces diferentes, y si se cuenta la multiplicidad de cada raíz entonces puede afirmarse que existen exactamente n raíces.
  • La función f:\mathbb{C} \to \mathbb{C} dada por f(z) = e^z\, no tienen ninguna raíz ya que no se anula nunca.
  • Las funciones reales \sin(x)\, y \cos(x)\, tienen un número infinito numerable de raíces.

Referencias[editar]

Weisstein, Eric W. «Raíz» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.