Coseno

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Triángulo rectángulo en un sistema de coordenadas cartesianas.

En trigonometría, el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

 \cos\alpha = \frac{b}{c}

En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo  \alpha.

Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.

Cálculo por serie de potencias[editar]

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real  x con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes,  x . Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es:


   \cos x =
   1
   - \cfrac{x^2}{2!}
   + \cfrac{x^4}{4!}
   - \cfrac{x^6}{6!}
   + \ldots
   + (-1)^n \; \frac{x^{2n}}{(2n)!}
   + \ldots

que en sumatorio seria:


   \cos x =
   \sum_{n=0}^\infty \; (-1)^n \; \frac{x^{2n}}{(2n)!}

La serie de potencias anterior proporciona a su vez la extensión de la función coseno al plano complejo del siguiente modo:


   \cos z =
   \cfrac{e^{iz} + e^{-iz} }{2}

Donde i es la unidad imaginaria.

Representación gráfica en la recta[editar]

Función Trigonométrica R010.svg

Relaciones trigonométricas[editar]

El coseno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

 \cos \; \alpha=\;\;\;\cos \; ( \alpha + k 2 \pi ) ,\;\; k \in \mathbb{Z}
Por inducción ya que aplicando un número par de veces  \cos \; \alpha=-\cos (\alpha + \pi) se llega a todos los valores de k.

Relación entre el seno y el coseno[editar]

La curva del coseno es la curva del seno desplazada \frac{\pi}{2} a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

 \cos \alpha=\sen\left(\alpha+ \frac{\pi}{2}\right)

Coseno de la suma de dos ángulos[editar]

 \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sen\alpha \sen\beta

 \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sen\alpha \sen\beta

La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Coseno del ángulo doble[editar]

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha
Como:
 \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sen\alpha \sen\beta

Bastará con el cambio \beta=\alpha\,

Coseno del ángulo mitad[editar]

\cos \bigg(\frac{\alpha}{2}\bigg)=\begin{cases} \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2}\in [-\frac{\pi}{2},\,\,\frac{\pi}{2}\,)+2k\pi \\ -\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2}\in [\;\;\;\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2})+2k\pi \end{cases}\;, \;\;para\;k\in \mathbb{Z}
Usando las fórmulas:
\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\, y
\cos\left(2\theta\right)=\cos^2\theta-\sen^2\theta

resulta:

\cos\left(2\theta\right)=2\cos^2\theta-1
Representación de y\;=\;\sqrt{\frac{1+\cos(2x)}{2}}.

y aislando \sen \theta:

\vert \cos \theta \vert=\sqrt{\frac{1+\cos(2\theta)}{2}}

El cambio \theta=\frac{\alpha}{2} corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:

0<\cos \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2})+2k\pi,
0>\cos \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2})+2k\pi

donde k\in\mathbb{Z}.

Suma de funciones como producto[editar]

\cos a+ \cos b = \;\;\;2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)

\cos a- \cos b = -2 \sen\left( \frac{a + b}{2} \right) \sen\left( \frac{a - b}{2} \right)

La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Derivada del coseno[editar]

\cos'x=-\sen x\,

Generalizaciones del coseno[editar]

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]