Seno (trigonometría)

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Seno
Sine.svg
Gráfica de Seno
Definición sen x
Dominio
Imagen [-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivada cos x
Función primitiva -cos x + c
Función inversa arcsen x

En matemáticas, el seno es una de las seis funciones trigonométricas, llamadas también funciones circulares [1]​, es una función real cuyo dominio es y su codominio el intervalo cerrado [-1;1]; se denota para todo . Su nombre se abrevia sen o sin.[2][3][4]

Etimología[editar]

El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476–550 d. C.]]) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá-jya,[5]​ siendo ardhá: ‘mitad, medio’, y jya: ‘cuerda’). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’).

A finales del siglo XII, el traductor italiano Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazando el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».[6]

Según otra explicación,[cita requerida] la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Definición[editar]

El seno de α es la razón

En trigonometría, el seno de un ángulo de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa:

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo

Si pertenece a la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia de radio uno con se tiene:

Ya que .

Esta construcción permite representar el valor del seno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector mediante su descomposición en los vectores ortogonales y .

Relaciones trigonométricas[editar]

El seno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

El seno es una función función impar, es decir:

El seno es una función periódica de periodo ,

Por inducción ya que aplicando un número par de veces se llega a todos los valores de k.

Relación entre el seno y el coseno[editar]

La curva del coseno es la curva del seno desplazada a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

En función del coseno[editar]

Como sen² α + cos² α = 1, despejando sen α se obtiene:

En función de la tangente[editar]

Como sec² α = 1 + tan² α, despejando y reemplazando sec α se obtiene:

En función de la cotangente[editar]

Sabiendo que sen α = 1/csc α, y que csc² α = 1 + cot² α, entonces:

En función de la secante[editar]

Como sec² α = 1 + tan² α, despejando y reemplazando tan α se obtiene:

En función de la cosecante[editar]

El seno y la cosecante son inversos multiplicativos:

[7]

Seno de la suma de dos ángulos[editar]

La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Seno del ángulo doble[editar]

Como:

Bastará con el cambio

Seno del ángulo mitad[editar]

Usando las fórmulas:
y

resulta:

Representación de

y aislando :

El cambio corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:

donde .

Suma de senos como producto[editar]

Usando seno de la suma de dos ángulos y con el cambio se tine:

Luego sumando o restando según convenga salen ambas ecuaciones.

Producto de senos como suma[editar]

Usando las ecuaciones de coseno de la suma de dos ángulos y restando resulta la primera ecuación, y si a éstas ecuaciones se le aplica la identidad de coseno del ángulo doble resulta la segunda ecuación.

Potencias de senos[editar]

Seno en análisis matemático[editar]

Definición[editar]

La función seno puede definirse mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es e .

Derivada del seno[editar]

  • Observación: .

Como serie de Taylor[editar]

El seno como Serie de Taylor en torno a a = 0 es:

Propiedades[editar]

  • Es una función continua en todo su dominio de definición.
  • Es una función trascendente pues no se puede expresar mediante una función algebraica, sea entera, racional o irracional.
  • El seno es una función analítica, esto es, que tiene derivada continua de cualquier orden.
  • Tiene una infinidad contable de ceros, donde corta al eje X.
  • Tiene una infinidad contable de valor máximo = 1; igual cantidad contable de valor mínimo = -1.
  • Tienen infinidad contable de puntos de inflexión.
  • Su gráfica es cóncava hacia abajo en [2k; 2(k+1)π]
  • Su gráfica es cóncava hacia arriba en [2(k+1)π; 2(k+2)π] [8]

Seno en análisis complejo[editar]

En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:

Dada la fórmula de Euler:

donde es la base del logaritmo natural, e es la unidad de los números imaginarios.

Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a se tiene también que:

Restando la segunda ecuación a la primera se tiene:

[9]

de donde despejando el seno se obtiene lo que se quiere.

El seno en programación[editar]

Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías.

La mayoria de los modelos de calculadoras estan configurados y aceptan el valor de un angulo cualquiera en los tres sistemas estándares de referencia angular: grados sexagesimales, grados centesimales y radianes.

Ejemplos:

Seno de 45 grados = 0,7071
Seno de 45 radianes = 0,8509.

Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número Pi. Ejemplo de conversiones:

Rad = Deg * π/180
Deg = Rad * 180/π.

La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos: y 90º:

en caso del modo de radianes activo.
en caso del modo de grados sexagesimales activo.

Representación gráfica[editar]

Función Trigonométrica R100.svg

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. A. I. Markushévich: Curvas maravillosas/ Números complejos y representaciones conformee/ Funciones maravillosas Editorial Mir, Moscú, 1988, pp 99-100
  2. Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Diccionario esencial de las ciencias. ISBN 84-239-7921-0. «Sen->Abreviatura de seno. Seno->...Abreviado sen. Sin->()Elemento compositivo que significa "con","a la vez".» 
  3. A. Bouvier y M. George. Diccionario de Matemáticas. AKAL. ISBN 84-7339-706-1. «Sen->Abreviación de seno. Seno->...Representado por Sen.» 
  4. Equipo editorial. Enciclopedia didáctica de matemáticas. OCEANO. ISBN 84-494-0696-X. «Seno-> ... sen â ...» 
  5. En el sitio Centros5.Pntic.Mec.es se refieren erróneamente a yia como 'yivá, que no significa ‘cuerda’ sino ‘ser vivo’.
  6. Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237). Saunders College Publishing House, New York. 
  7. I. Bronshtein & K. Semendiaev: Manual de matemáticas, Editorial Mir, Moscú/ 1973, pág. 210
  8. Bronshtein. Op. ci pág, pág. 275
  9. A. Markushevich: Teoría de las funciones analíticas' tomo I editorial Mir Moscú (1970)

Enlaces externos[editar]