Función elíptica de Jacobi

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Funciones elípticas de Jacobi snk(x), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,05; línea verde: k = 1,05).
Funciones elípticas de Jacobi cnk(x), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,05; línea verde: k = 1,05).
Funciones elípticas de Jacobi dnk(x), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,25; línea verde: k = 1,05).

Las funciones elípticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral elíptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre al matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1829).

En física aparecen por ejemplo las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes sometido a la gravedad, o el movimiento de una peonza asimétrica.

Definición[editar]

Considérese la integral elíptica incompleta de primera especie definida como:

La inversa de esta función es la primera de las tres funciones elípticas de Jacobi:

Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:

Propiedades[editar]

En primer lugar las funciones elípticas satisfacen un conjunto de de identidades análogo al que satisfacen las funciones trigonométricas:

En cuanto a los valores particulares se tiene que para u = 0 las funciones valen:

Las funciones elípticas pueden considerarse una generalización de las funciones trigonométricas; de hecho cuando k tiende a cero las funciones elípticas de Jacobi se reducen a las funciones trigonométricas convencionales:

Las respectivas series de Taylor vienen dadas por:

Doble periodicidad[editar]

Una propiedad interesante de las funciones elípticas de Jacobi es que son doblemente periódicas. Tienen un periodo real y otro período complejo:

Donde los valores que definen los períodos viene dados por:

donde q es el nomo de las funciones que se relaciona con el módulo de las funciones elípticas mediante la relación:

Relaciones entre las funciones elípticas[editar]

Algunas relaciones útiles para el "ángulo doble" son:

Algunas relaciones que involucran a las funciones elípticas secundarias son:

Fórmulas de adición[editar]

Análogamente a las fórmulas de adición de ángulos para las fórmulas trigonométricas, para la funciones elípticas de Jacobi pueden establecerse las siguientes relaciones:

Funciones elípticas de Jacobi secundarias[editar]

A partir de los cocientes de las funciones de Jacobi anteriormente definidas es común definir otras funciones derivadas. En primer lugar se definen las funciones recíprocas:

En segundo lugar los cocientes:

Junto con sus respectivas funciones recíprocas:

Existen así un total de 12 funciones elípticas de Jacobi.

Referencia[editar]

Bibliografía[editar]

  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988, pp. 185-89 ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos[editar]