Multiplicidad

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En matemáticas, la multiplicidad de un miembro de un multiconjunto es el número de pertenencias que éste tiene en el multiconjunto. Por ejemplo, este término se usa para referirse al número de veces que cierto polinomio tiene raíz en un punto determinado.

La razón más habitual para considerar nociones de multiplicidad es para contar sin especificar excepciones (por ejemplo, especificar que las raíces dobles se cuentan dos veces). De aquí la expresión contado con multiplicidad (en ocasiones implícita).

Multiplicidad de un factor primo[editar]

En la factorización en factores primos

60 = 2 × 2 × 3 × 5

la multiplicidad de 2 es 2; la de 3 es 1, y la de 5 es 1. Así, 60 tiene 4 factores primos, pero sólo 3 factores primos distintos.

Multiplicidad de la raíz de un polinomio[editar]

Sea un campo y un polinomio de una variable con coeficientes en . Un elemento  ∈  se llama raíz de multiplicidad de si existe un polinomio tal que  ≠  y  = . Si , entonces recibe el nombre de raíz simple.

Por ejemplo el polinomio tiene y como raíces, y puede escribirse como . Esto significa que es una raíz de multiplicidad , y es una raíz 'simple' (multiplicidad ).

Multiplicidad de cero de una función[editar]

de Sea un intervalo de R y una función de a R o C y  ∈  sea un cero de , por ejemplo, un punto tal que . El punto toma el nombre de cero de multiplicidad de si existe un número real  ≠  tal que

De forma más general, sea una función de un subconjunto abierto de un espacio vectorial con norma en un espacio vectorial con norma , y sea  ∈  cero de , por ejemplo, un punto tal que  = . El punto recibe el nombre de cero de multiplicidad de si existe un número real  ≠  tal que

El punto se llama cero de multiplicidad ∞ de si para cada , se cumple que

Ejemplo 1. Dado que

0 es un cero de multiplicidad 1 de la función seno.

Ejemplo 2. Dado qué

0 es un cero de multiplicidad 2 de la función .

Ejemplo 3. Considérese la función de R en R tal que y que cuando  ≠ . Entonces, dado que

para todo  ∈ N

0 es un cero de multiplicidad ∞ para la función .

En análisis complejo[editar]

Sea una raíz de una función holomorfa , y el último entero positivo tal que, la ésima derivada de evaluada en es diferente de cero. Entonces la serie de potencias de sobre empieza con el término ésimo, y entonces tiene raíz de multiplicidad (o “orden”) . Si , la raíz recibe el nombre de raíz simple (Krantz 1999, p. 70).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.