Cuádrica

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Una cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma:

donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas .

Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman x, y, z.

Hiperboloide de una hoja.

Historia[editar]

Fueron los matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron el estudio de las cuádricas, con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cónicas, curvas en un plano bidimensional, aunque no emplearon ecuaciones.

Definición algebraica[editar]

Una cuádrica o superficie cuádrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables (coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son , entonces la cuádrica típica en ese espacio se define mediante la ecuación algebraica:

donde Q es una matriz cuadrada de dimensión (D), P es un vector de dimensión (D) y R es una constante. Si bien Q, P y R son por lo general reales o complejos, una cuádrica puede definirse en general sobre cualquier anillo.

Ecuación cartesiana[editar]

La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:

  • La definición algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema.

Por ejemplo, la ecuación:

es de segundo grado pero, también se puede escribir como:

que equivale a:

,

una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.

  • A menudo, es útil recordar que si la ecuación en su forma cartesiana carece de términos cruzados, i.e., los coeficientes D, E y F son iguales a cero:

entonces los términos lineales para cada variable:

pueden asimilarse a los cuadráticos:

mediante el método de completar cuadrados, de modo que sea fácil interpretar la ecuación como una de las formas "normalizadas" que se presentan a continuación, pero "descentrada" o "trasladada" (no centrada en el origen, , sino en un punto de coordenadas implícitas en la nueva forma).

Ecuación normalizada[editar]

La ecuación normalizada de una cuádrica tridimensional (D = 3), centrada en el origen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es:

Tipos de cuádricas[editar]

Por medio de traslaciones y rotaciones cualquier cuádrica se puede transformar en una de las formas "normalizadas". En el espacio tridimensional euclídeo, existen 16 formas normalizadas; las más interesantes son las siguientes:

elipsoide Quadric Ellipsoid.jpg
    → esferoide (caso particular de elipsoide)  
        → esfera (caso particular de esferoide)
paraboloide
    → paraboloide hiperbólico (caso particular de paraboloide) Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
    → paraboloide elíptico (caso particular de paraboloide) Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
        → paraboloide circular (caso particular de paraboloide elíptico)
hiperboloide
    → hiperboloide de una hoja (caso particular de hiperboloide) Quadric Hyperboloid 1.jpg
    → hiperboloide de dos hojas (caso particular de hiperboloide) Quadric Hyperboloid 2.jpg
cilindro
    → cilindro elíptico (caso particular de cilindro) Quadric Elliptic Cylinder.jpg
        → cilindro circular (caso particular de cilindro elíptico)
    → cilindro hiperbólico (caso particular de cilindro) Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
    → cilindro parabólico (caso particular de cilindro) Quadric Parabolic Cylinder.jpg
cono elíptico Quadric Cone.jpg
    → cono circular (caso particular de cono elíptico)


En el espacio proyectivo real, el elipsoide, el hiperboloide elíptico y el paraboloide elíptico son similares; los dos paraboloides hiperbólicos tampoco se diferencian entre ellos (por ser superficies regladas; el cono y el cilindro tampoco son distintos entre sí (por ser cuádricas "degeneradas"). En el espacio proyectivo complejo todas las cuádricas no degeneradas resultan indistinguibles entre ellas.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]