Cuádrica

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Una cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma: P(x_1,x_2 ... x_n) = 0 \

donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas x_1, x_2 ... x_n \ .

Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman x, y, z.

Hiperboloide de una hoja.

Historia[editar]

Fueron los matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron el estudio de las cuádricas, con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cónicas, curvas en un plano bidimensional, aunque no emplearon ecuaciones.

Definición algebraica[editar]

Una cuádrica o superficie cuádrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables (coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son \{x_1, x_2, ... x_D\}\,, entonces la cuádrica típica en ese espacio se define mediante la ecuación algebraica:

 \sum_{i,j=1}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=1}^D P_i x_i + R = 0

donde Q es una matriz cuadrada de dimensión (D), P es un vector de dimensión (D) y R es una constante. Si bien Q, P y R son por lo general reales o complejos, una cuádrica puede definirse en general sobre cualquier anillo.

Ecuación cartesiana[editar]

La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:

Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 \,
  • La definición algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema.

Por ejemplo, la ecuación:

x^2 + y^2 + z^2 +2xy + 2yz + 2xz = 0 \

es de segundo grado pero, también se puede escribir como:

(x+y+z)^2 = 0 \

que equivale a:

x + y + z = 0 \ ,

una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.

  • A menudo, es útil recordar que si la ecuación en su forma cartesiana carece de términos cruzados, i.e., los coeficientes D, E y F son iguales a cero:
D=0, E=0, F=0

entonces los términos lineales para cada variable:

Gx, Hy, Iz

pueden asimilarse a los cuadráticos:

Ax^2, By^2, Cz^2

mediante el método de completar cuadrados, de modo que sea fácil interpretar la ecuación como una de las formas "normalizadas" que se presentan a continuación, pero "descentrada" o "trasladada" (no centrada en el origen, (0,0,0), sino en un punto de coordenadas implícitas en la nueva forma).

Ecuación normalizada[editar]

La ecuación normalizada de una cuádrica tridimensional (D = 3), centrada en el origen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es:

 \pm {x^2 \over a^2} \pm {y^2 \over b^2} \pm {z^2 \over c^2} \pm 1 = 0

Tipos de cuádricas[editar]

Por medio de traslaciones y rotaciones cualquier cuádrica se puede transformar en una de las formas "normalizadas". En el espacio tridimensional euclídeo, existen 16 formas normalizadas; las más interesantes son las siguientes:

elipsoide {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} - 1 = 0 \, Quadric Ellipsoid.jpg
    → esferoide (caso particular de elipsoide)   {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} - 1 = 0 \,
        → esfera (caso particular de esferoide) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} - 1 = 0 \,
paraboloide
    → paraboloide hiperbólico (caso particular de paraboloide) {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0 \, Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
    → paraboloide elíptico (caso particular de paraboloide) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \, Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
        → paraboloide circular (caso particular de paraboloide elíptico) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0 \,
hiperboloide
    → hiperboloide de una hoja (caso particular de hiperboloide) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} - 1 = 0 \, Quadric Hyperboloid 1.jpg
    → hiperboloide de dos hojas (caso particular de hiperboloide) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} + 1 = 0 \, Quadric Hyperboloid 2.jpg
cilindro
    → cilindro elíptico (caso particular de cilindro) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - 1 = 0 \, Quadric Elliptic Cylinder.jpg
        → cilindro circular (caso particular de cilindro elíptico) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - 1 = 0 \,
    → cilindro hiperbólico (caso particular de cilindro) {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - 1 = 0 \, Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
    → cilindro parabólico (caso particular de cilindro) x^2 + 2ay = 0 \, Quadric Parabolic Cylinder.jpg
cono elíptico {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \, Quadric Cone.jpg
    → cono circular (caso particular de cono elíptico)


En el espacio proyectivo real, el elipsoide, el hiperboloide elíptico y el paraboloide elíptico son similares; los dos paraboloides hiperbólicos tampoco se diferencian entre ellos (por ser superficies regladas; el cono y el cilindro tampoco son distintos entre sí (por ser cuádricas "degeneradas"). En el espacio proyectivo complejo todas las cuádricas no degeneradas resultan indistinguibles entre ellas.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]