Cono (geometría)

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Ejemplo de cono.

En geometría, un cono recto y es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide.

Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria. Y el sólido es un líquido

Elementos[editar]

Directriz[editar]

Es una curva plana, por cuyos puntos pasa una recta que también pasa por un punto fijo.

Generatriz[editar]

Es la recta que pasa por el punto fijo y un punto de la directriz, la unión de estas rectas constituye la superficie cónica.

Base[editar]

Si la directriz es una circunferencia, el sólido limitado por la respectiva superficie cónica y el círculo que clausura la circunferencia se llama cono circular recto. Y el círculo respectivo se llama base del cono.

Vértice[editar]

Es el punto fijo exterior al plano de la directriz. Ordinariamente, las respectivas semirrectas originadas por el vértice, generan dos partes de la superficie llamadas mantos.

Altura[editar]

Se mide de abajo hacia arriba, en un caso restringido de que un triángulo rectángulo ( como subconjunto bidimensional) gire en torno de uno de sus catetos, y se engendra un cono circular recto. Justamente, el cateto eje se llama, tanto como segmento y cuanto en medida altura del cono.

Cono (sólido geométrico)[editar]

Usualmente, se considera un círculo y un punto exterior al plano del círculo. La unión de todos los segmentos de extremo en un punto del círculo y extremo común, el punto exterior, se llama cono, considerado como un sólido geométrico.[1][2]

Propiedades[editar]

Área de la superficie cónica[editar]

El área de la superficie del cono recto es:

donde r es el radio de la base y a la longitud de la generatriz del cono recto.


La generatriz de un cono recto del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: .

Desarrollo plano de un cono recto[editar]

Desarrollo plano del cono.

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.

El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.

La forma de calcular la distancia a en el desarrollo es con la ecuación de

donde r es el radio de la base y h es la altura del cono.

El ángulo que está sombreado en la figura se calcula con la siguiente fórmula:

.

Volumen de un cono[editar]

El volumen de un cono de radio y altura es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:

La ecuación se obtiene mediante ,

donde es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura , en este caso .

Cono oblicuo[editar]

Secciones de un cono recto y un cono oblicuo de base circular.

Un cono oblicuo es aquel cono cuyo eje de revolución no es perpendicular a su base.

Pueden ser de dos tipos: de base circular o de base elíptica. El de base elíptica es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje de revolución.

La base es un círculo o una elipse, y la altura es el segmento que contiene al vértice, siendo perpendicular al plano de la base; pero no es coincidente con el eje del cono.

Superficie y desarrollo[editar]

La superficie lateral de un cono oblicuo es un triángulo curvilíneo, con dos generatrices por lados y base semi-elíptica.

La superficie de la base de un cono oblicuo es un círculo o una elipse.

Volumen[editar]

La ecuación empleada para hallar el volumen de un cono oblicuo de base circular es similar a la del cono recto:

donde es el radio de la base y la altura del cono oblicuo. La ecuación del volumen de un cono oblicuo de base elíptica es:

siendo y los semiejes de la elipse y la altura del cono oblicuo. La justificación de estas dos fórmulas se basa en el principio de Cavalieri cuyo enunciado es el siguiente:

Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces: igual volumen

Igualmente dentro del cálculo infinitesimal las fórmulas anteriores puede demostrarse sin necesidad del principio de Cavalieri.

Secciones cónicas[editar]

Distintas secciones cónicas.

Al cortar con un plano a una superficie cónica, se obtiene distintas figuras geométricas: las secciones cónicas. Dependiendo del ángulo de inclinación y la posición relativa, pueden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.

Si el plano pasa por el vértice la intersección podrá ser: una recta, un par de rectas cruzadas o un punto (el vértice).

Las curvas cónicas son importantes en la astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley universal de la gravitación, describen órbitas similares a secciones cónicas: elipses, hipérbolas o parábolas en función de sus distancias, velocidades y masas.

También son muy útiles en aerodinámica y otras aplicaciones industriales, ya que permiten ser reproducidas por medios simples con gran exactitud, logrando volúmenes, superficies y curvas de gran precisión.

Ecuación en coordenadas cartesianas[editar]

Superficie cónica.

En Geometría analítica y Geometría diferencial, el cono es el conjunto de puntos del espacio que verifican, respecto un sistema de coordenadas cartesianas, una ecuación del tipo:

Este conjunto también coincide con la imagen de la función:

que es llamada parametrización usual del cono.

Por ejemplo, en el caso que a = b (no nulos), éste conjunto es obtenido a partir de rotar la recta respecto al eje z, y por eso es llamada parametrización de revolución.

El cono no es una superficie regular, pues posee una singularidad: su vértice; quitándolo se convierte en una superficie regular disconexa y abierta. Entre sus características, podemos destacar que es una superficie reglada (es decir que se puede generar por el movimiento de una recta), y es desarrollable, es decir, que se puede desplegar sobre un plano; técnicamente esto se expresa diciendo que su curvatura gaussiana es nula (como en el plano o el cilindro)

Referencias[editar]

  1. G. M. Bruño. Geometría Superior
  2. Londoño- Bedoya. Álgebra y geometría' 4

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]