Cono (geometría)

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Ejemplo de cono.

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.

Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.

Clasificación[editar]

Cono recto y cono oblicuo.

Se denominan:

  • Cono recto, si el vértice equidista de la base circular
  • Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base
  • Cono elíptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.

La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base.

La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conos rectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base.

Propiedades[editar]

Área de la superficie cónica[editar]

El área A\, de la superficie del cono recto es:

A=A_{Base}+ A_{Lateral}=\pi r^2 + \pi rg\,\!

donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz del cono recto.


La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: g=\sqrt{h^2+r^2}\,.

Desarrollo plano de un cono recto[editar]

Desarrollo plano del cono.

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.

El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.

La forma de calcular la distancia a en el desarrollo es con la ecuación de a=\sqrt{h^2+r^2}\,

donde r es el radio de la base y h es la altura del cono.

El ángulo que está sombreado en la figura se calcula con la siguiente fórmula:

\mathrm{\acute{a}ngulo} = 360(r/a) \,.

Volumen de un cono[editar]

El volumen V\, de un cono de radio r \, y altura h \, es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:

V = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}\,\!

La ecuación se obtiene mediante \int^{h}_{0}A(x)dx\,\!,

donde A(x)\, es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura h, en este caso A(x)=\pi\left(\frac{rx}{h}\right)^2.

Cono oblicuo[editar]

Secciones de un cono recto y un cono oblicuo de base circular.

Un cono oblicuo es aquel cono cuyo eje de revolución no es perpendicular a su base.

Pueden ser de dos tipos: de base circular o de base elíptica. El de base elíptica es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje de revolución.

La base es un círculo o una elipse, y la altura es el segmento que contiene al vértice, siendo perpendicular al plano de la base; pero no es coincidente con el eje del cono.

Superficie y desarrollo[editar]

La superficie lateral de un cono oblicuo es un triángulo curvilíneo, con dos generatrices por lados y base semi-elíptica.

La superficie de la base de un cono oblicuo es un círculo o una elipse.

Volumen[editar]

La ecuación empleada para hallar el volumen de un cono oblicuo de base circular es similar a la del cono recto:

 V = \frac{\pi r^2 h} {3}

donde \scriptstyle r es el radio de la base y \scriptstyle h la altura del cono oblicuo. La ecuación del volumen de un cono oblicuo de base elíptica es:

 V = \frac{\pi a b h}{3}

siendo \scriptstyle a y \scriptstyle b los semiejes de la elipse y \scriptstyle h la altura del cono oblicuo. La justificación de estas dos fórmulas se basa en el principio de Cavalieri cuyo enunciado es el siguiente:

Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces: igual volumen

Igualmente dentro del cálculo infinitesimal las fórmulas anteriores puede demostrarse sin necesida del principio de Cavalieri.

Secciones cónicas[editar]

Distintas secciones cónicas.

Al cortar con un plano a una superficie cónica, se obtiene distintas figuras geométricas: las secciones cónicas. Dependiendo del ángulo de inclinación y la posición relativa, pueden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.

Si el plano pasa por el vértice la intersección podrá ser: una recta, un par de rectas cruzadas o un punto (el vértice).

Las curvas cónicas son importantes en la astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley universal de la gravitación, describen órbitas similares a secciones cónicas: elipses, hipérbolas o parábolas en función de sus distancias, velocidades y masas.

También son muy útiles en aerodinámica y otras aplicaciones industriales, ya que permiten ser reproducidas por medios simples con gran exactitud, logrando volúmenes, superficies y curvas de gran precisión.

Ecuación en coordenadas cartesianas[editar]

Superficie cónica.

En Geometría analítica y Geometría diferencial, el cono es el conjunto de puntos del espacio que verifican, respecto un sistema de coordenadas cartesianas, una ecuación del tipo:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \,

Este conjunto también coincide con la imagen de la función:

X(\theta,t)=(a t \cos(\theta),b t \sin(\theta),c t),\,

que es llamada parametrización usual del cono.

Por ejemplo, en el caso que a = b (no nulos), éste conjunto es obtenido a partir de rotar la recta (t,0,\frac{c\,t}{a})\, respecto al eje z, y por eso es llamada parametrización de revolución.

El cono no es una superficie regular, pues posee una singularidad: su vértice; quitándolo se convierte en una superficie regular disconexa y abierta. Entre sus características, podemos destacar que es una superficie reglada (es decir que se puede generar por el movimiento de una recta), y es desarrollable, es decir, que se puede desplegar sobre un plano; técnicamente esto se expresa diciendo que su curvatura gaussiana es nula (como en el plano o el cilindro)

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]