Serie de Taylor

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A medida que aumenta el grado del polinomio de Maclaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de Maclaurin a sen(x), centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo)

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero, es decir, cuando , se le denomina también serie de Maclaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

  • la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
  • se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
  • es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de (véase Serie de Laurent). Por ejemplo se puede desarrollar como serie de Laurent.

Definición[editar]

La serie de Taylor de una función real o compleja infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta utilizando la notación sigma como

donde:

  • es el factorial de .
  • denota la -ésima derivada de evaluada en el punto .

La derivada de orden cero de es definida como la propia y tanto como son ambos definidos como 1 ( = 1).

En particular, cuando , la serie también es llamada serie de McLaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en de la forma siempre se puede hacer el cambio de variable (con lo que en la función a desarrollar original) para expresarla como centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función alrededor de a = 1 se puede tomar , de manera que se desarrollaría centrada en 0.

Historia[editar]

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.[1]​ Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.[2]

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.[3]​ A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edimburgo, quien publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

Función analítica[editar]

Si una serie de Taylor converge para todo perteneciente al intervalo y la suma es igual a , entonces la función se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a , se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.

Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Se suele aproximar una función mediante un número finito de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de dicha aproximación. Se denomina polinomio de Taylor al número finito de los términos iniciales de la serie de Taylor de una función. La serie de Taylor de una función es, en caso de existir, el límite del polinomio de Taylor de esa función. Una función puede no ser igual a la serie de Taylor ni siquiera convergiendo tal serie para cada punto. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) se denomina función analítica.

Lista de Series de Maclaurin de algunas funciones comunes[editar]

La función coseno
Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos
Las dos imágenes superiores unidas

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de .

Función exponencial[editar]

La función exponencial tiene como serie de Maclaurin

y converge para toda .

Logaritmo natural[editar]

El logaritmo natural (en base ) tiene como serie de Maclaurin

y convergen para .

Serie geométrica[editar]

La serie geométrica y su derivada tienen serie de Maclaurin

y todas convergen para .

Serie binomial[editar]

La series binomiales son las series de potencias

cuyos coeficientes son los coeficientes binomiales generalizados

(Si , este producto es un producto vacío y tiene un valor de ). Converge para para cualquier .

Cuando , obtenemos la serie geométrica mencionada anteriormente.

Funciones trigonométricas[editar]

Las función trigonométricas usuales y sus inversas tienen como series de Maclaurin:

Todos los ángulos están expresados en radianes. Los números son los números de Bernoulli mientas que son los números de Euler.

Funciones hiperbólicas[editar]

Las funciones hiperbólicas tienen como series de Maclaurin

donde los números son los números de Bernoulli.

Función W de Lambert[editar]

Serie de Taylor en Varias Variables[editar]

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de más de una variable como

Como ejemplo, para una función de 2 variables, , la serie de Taylor de segundo orden alrededor del punto es:

Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:

donde es el gradiente y es la matriz hessiana. Otra forma:

Aplicaciones[editar]

Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, la regla de l'Hôpital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.
  2. Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.
  3. «Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala». MAT 314. Canisius College. Archivado desde el original el 6 de agosto de 2006. Consultado el 9 de julio de 2006. 

Enlaces externos[editar]