Grupo simétrico

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Grafo de Cayley de un grupo simétrico de orden 4 (S4)

En matemáticas, el grupo simétrico sobre un conjunto , denotado por o , es el grupo formado por las aplicaciones biyectivas de en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones.[1]

Cuando es un conjunto finito, el grupo se denomina grupo de permutaciones de elementos, y se denota por o . El orden de este grupo es n!, y no es abeliano para .

El teorema de Cayley afirma que todo grupo es isomorfo a un subgrupo de su grupo simétrico . En el caso particular de que sea finito de orden , entonces es isomorfo a un subgrupo de .[2]

Composición de permutaciones[editar]

Hay diversas formas de representar una permutación. Podemos escribir una permutación σ en forma de matriz, situando en primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3..., y en la segunda las imágenes correspondientes σ(1), σ(2), σ(3),....

Dada dos permutaciones, su composición se realiza siguiendo las reglas usuales de composición de funciones:

Si    y  

su composición es:

El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera de derecha a izquierda:

Presentación del grupo de permutaciones de n elementos[editar]

Generadores[editar]

Recordemos que una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Toda permutación se descompone como producto de trasposiciones. De este modo, el conjunto de las trasposiciones forma un sistema generador de . Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma . En efecto, para i<j podemos descomponer cualquier trasposición en la forma:

Relaciones elementales[editar]

Estos generadores permiten definir una presentación del grupo simétrico, junto con las relaciones:

  • ,
  • ,
  • .

Otros generadores[editar]

Es posible igualmente usar como sistema de generadores:

  • Las trasposiciones de la forma (1 i), con i>1.
  • El conjunto formado por solo dos generadores:la trasposición σ=(1 2) y el ciclo c=(1 2 ... n).

Clases de conjugación[editar]

Recordemos que toda permutación puede ser descrita como producto de ciclos disjuntos, y esta descomposición es única salvo el orden de los factores. Las clases de conjugación de Sn se corresponden con la estructura de dicha descomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en Sn si y sólo si se obtienen como composición del mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S5, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; pero (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no.

El grupo S3, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con sus números de elementos:

  • La identidad (abc → abc) (1)
  • Las permutaciones que intercambian dos elementos (abc → acb, abc → bac, abc → cba) (3)
  • Las permutaciones cíclicas de los 3 elementos (abc → bca, abc → cab) (2)

El grupo S4, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación:

  • La identidad (1)
  • Las permutaciones que intercambian dos elementos (6)
  • Las permutaciones que intercambian cíclicamente tres elementos (8)
  • Las permutaciones cíclicas de los cuatro elementos (6)
  • Las permutaciones que intercambian dos elementos entre sí, y también los dos restantes (3)

En general, cada clase de conjugación en Sn se corresponderá con una partición entera de n y podrá ser representada gráficamente por un diagrama de Young. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con las cinco clases de conjugación listadas anteriormente:

  1. 1 + 1 + 1 + 1
  2. 2 + 1 + 1
  3. 3 + 1
  4. 4
  5. 2 + 2

Representaciones del grupo[editar]

Si asociamos a cada permutación su matriz permutación obtenemos una representación que en general no es irreducible.[3]

Representaciones irreducibles[editar]

Referencias[editar]

  1. Dummit y Foote, 2004, p. 29.
  2. Rotman, 2012, p. 52.
  3. Sternberg, Shlomo Group Theory and Physics. Cambridge University Press, 1994. ISBN 0 521 24870 1

Bibliografía[editar]

  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª edición). Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5. 
  • Rotman, Joseph J. (2012). An Introduction to the Theory of Groups. Springer.