Grupo simétrico

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Grafo de Cayley de un grupo simétrico de orden 4 (S4)

En matemáticas, el grupo simétrico sobre un conjunto X, denotado por SX es el grupo formado por las funciones biyectivas (permutaciones) de X en sí mismo.

Cuando X es un conjunto finito, los subgrupos de SX se denominan grupos de permutaciones. El teorema de Cayley afirma que todo grupo G es isomorfo a un grupo de permutaciones (ie: un subgrupo del simétrico).

De especial relevancia es el grupo simétrico sobre el conjunto finito X = {1,...,n}, denotado por Sn. El grupo Sn tiene orden n! y no es abeliano para n≥3.


Composición de permutaciones[editar]

Hay diversas formas de representar una permutación. Podemos escribir una permutación σ en forma de matriz, situando en primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3..., y en la segunda las imágenes correspondientes σ(1), σ(2), σ(3),....

Dada dos permutaciones, su composición se realiza siguiendo las reglas usuales de composición de funciones:

Si   
\sigma = 
\begin{pmatrix}
  1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
  3 & 2 & 4 & 6 & 5 & 1 \\
\end{pmatrix}
 y   
\tau = 
\begin{pmatrix}
  1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
  4 & 1 & 2 & 5 & 3 & 6  \\
\end{pmatrix}

su composición es: 
\tau \circ \sigma = 
\begin{pmatrix}
  1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
  2 & 1 & 5 & 6 & 3 & 4  \\
\end{pmatrix}

El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera de derecha a izquierda:

Composicion de permutaciones.svg

Una presentación del grupo[editar]

Generadores[editar]

Recordemos que una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Toda permutación se descompone como producto de trasposiciones. De este modo, el conjunto de las trasposiciones forma un sistema generador de S_n. Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma \tau_i=(i,i+1). En efecto, para i<j podemos descomponer cualquier trasposición en la forma:

(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1)

Relaciones elementales[editar]

Estos generadores permiten definir una presentación del grupo simétrico, junto con las relaciones:

  • {\tau_i}^2 = 1\, ,
  • \tau_i\tau_j = \tau_j\tau_i \qquad \mbox{si  }  |j-i| > 1\,,
  • {(\tau_i\tau_{i+1}})^3=1.\,.

Otros generadores[editar]

Es posible igualmente usar como sistema de generadores:

  • Las trasposiciones de la forma (1 i), con i>1.
  • El conjunto formado por solo dos generadores:la trasposición σ=(1 2) y el ciclo c=(1 2 ... n).

Clases de conjugación[editar]

Recordemos que toda permutación puede ser descrita como producto de ciclos disjuntos, y esta descomposición es única salvo el orden de los factores. Las clases de conjugación de Sn se corresponden con la estructura de dicha descomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en Sn si y sólo si se obtienen como composición del mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S5, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; pero (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no.

El grupo S3, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con sus números de elementos:

  • La identidad (abc → abc) (1)
  • Las permutaciones que intercambian dos elementos (abc → acb, abc → bac, abc → cba) (3)
  • Las permutaciones ciclicas de los 3 elementos (abc → bca, abc → cab) (2)

El grupo S4, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación:

  • La identidad (1)
  • Las permutaciones que intercambian dos elementos (6)
  • Las permutaciones que intercambian cíclicamente tres elementos (8)
  • Las permutaciones cíclicas de los cuatro elementos (6)
  • Las permutaciones que intercambian dos elementos entre sí, y también los dos restantes (3)

En general, cada clase de conjugación en Sn se corresponderá con una partición entera de n y podrá ser representada gráficamente por un diagrama de Young. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con las cinco clases de conjugación listadas anteriormente:

  1. 1 + 1 + 1 + 1
  2. 2 + 1 + 1
  3. 3 + 1
  4. 4
  5. 2 + 2

Representaciones del grupo[editar]

Si asociamos a cada permutación su matriz permutación obtenemos una representación que en general no es irreducible.[1]

Representaciones irreducibles[editar]

Referencias[editar]

  1. Sternberg, Shlomo Group Theory and Physics. Cambridge University Press, 1994. ISBN 0 521 24870 1