Presentación de grupo

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En álgebra abstracta, una presentación es una forma de definir un grupo mediante la especificación de dos conjuntos:

  • S, conjunto de los generadores, de modo que todo elemento del grupo pueda expresarse como producto de elementos de S.
  • R, conjunto de las relaciones, igualdades entre elementos del grupo.

La presentación de un grupo G suele escribirse en la forma ~\langle S\mid R\rangle. En las relaciones en que el segundo miembro de la igualdad sea el elemento neutro del grupo, suele omitirse la igualdad y el elemento neutro. Por ejemplo:

~G=<a,b,c,d\mid b^9, cbcbcb, cbc^{-1}b^{-1} >

indica que el grupo G está generado por a, b, c, d ; y el conjunto de relaciones nos indica que b9= e, es decir, b es de orden 9, cb es de orden 3, y que c y b conmutan.

Introducción informal[editar]

Llamamos palabra a cualquier producto de elementos del grupo o de sus inversos. Por ejemplo, si x, y, z son elementos de un grupo G, entonces xy, z-1xzz son palabras en el conjunto {x, y, z}.

Diremos que un grupo G está generado por un conjunto S, si es posible describir todo elemento de G como producto de la forma

x1a1 x2a2 ... xnan

donde todos los xi son elementos de S, y cada ai es un número entero. Es decir, si todo elemento de G puede expresarse como una palabra en S.

Si G no es un grupo libre, muchos de estos productos serán iguales. Será necesario precisar todas estas relaciones a partir de un conjunto R de relaciones básicas de las que se deduzcan las demás,

Definición[editar]

Para definir el concepto de presentación de un grupo, es necesario precisar que significa que una relación se satisface en un grupo dado. Para esto, se recurre a los grupos libres, a través de los cuales se puede representar una relación entre productos de generadores de un grupo como una palabra en el grupo libre. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de símbolos ~X y el grupo libre sobre X, representado por F_{X}. Si p y q son palabras del grupo libre F_{X}, entonces la relación p = q puede representarse por pq^{-1} = 1, y convenir en que el lado derecho siempre es 1 nos permite fijarnos sólo en la palabra pq^{-1}. Así, tenemos que toda relación entre los elementos de un grupo pueden expresarse como una palabra de F_{X} para cierto conjunto X. Puesto que los símbolos de X no son los símbolos de un grupo G, es necesario "traducirlos" a elementos de G mediante una función f: X\longrightarrow G, y así podemos decir que una relación de grupo con elementos en un conjunto X se satisface en un grupo G mediante una función f si al interpretar la relación como un producto en G (cambiando letras por su imagen por f) el resultado es 1_{G}, el elemento neutro de G.

Dado un conjunto de relaciones R\subset F_{X}, siempre es posible definir un conjunto que satisface estas relaciones. Se trata del grupo cociente F_{X}/N, donde N es el menor subgrupo normal de F_{X} que contiene a R, llamado clausura normal de R (la clausura normal existe, y no es más que el conjunto generado por la clase de conjugación R^{G} = \{grg^{-1}\mid g\in G\mbox{ y }r\in R\}). En efecto, pues f se toma como la proyección canónica F_{X}\longrightarrow F_{X}/N, vemos que si p\in R entonces p\in N = \ker f, y así la palabra p, al ser interpretada como producto en F_{X}/N, es igual al elemento neutro de F_{X}/N y p se satisface en F_{X}/N para toda p\in R. Estas ideas son suficientes para dar la definición de una presentación de grupo:

Se dice que un grupo G tiene una presentación ~\langle X\mid R\rangle, donde X es un conjunto y R es un conjunto de palabras del grupo libre F_{X} de base X, si existe un isomorfismo G\simeq F_{X}/N, donde N es la clausura normal de R.

Si G tiene una presentación ~\langle X\mid R\rangle, se puede considerar al conjunto X como el generador de G, y entonces G es el mayor grupo libre en X en el que las relaciones R se satisfacen. La formulación precisa de esta última afirmación es el teorema de von Dyck siguiente:

Teorema (von Dyck): Sea R un conjunto de palabras del grupo libre F_X de base X, y G un grupo donde se satisfacen todas las relaciones de R a través de una aplicación f: X\to G. Si G es generado por f(X), entonces existe un único epimorfismo \psi: F_X \longrightarrow G tal que f = \psi \circ \eta, donde N es la clausura normal de R en F_X y \eta: X\longrightarrow F_{X}/N es la restricción de la proyección canónica \pi : F_{X} \longrightarrow F_{X} / N a X:


Presentacion de grupo teorema von dyck diagrama conmutativo.svg


El teorema de von Dyck nos dice que, en efecto, un grupo G que tiene una presentación ~\langle X\mid R\rangle cumple con la propiedad universal que caracteriza a los grupos libres, y así es libre con base X. Cuando H es un grupo que también satisface las relaciones en R y H = \langle f(X)\rangle como en el teorema anterior, entonces hay un epimorfismo \psi : G\longrightarrow H y así H es isomorfo (por el primer teorema de isomorfía) a un grupo cociente de G (a saber G/\ker\psi), y es en este sentido que el grupo G es el mayor grupo libre en X que satisface las relaciones en R.

Ejemplos[editar]

~\langle a\mid a^n\rangle.
~\langle a\mid\varnothing\rangle,

donde el conjunto de relaciones es vacío, de hecho este grupo coincide con un grupo libre de un solo generador. En general,

~\langle X\mid \varnothing\rangle

es la presentación del grupo libre ~F_X.

  • El grupo de quaterniones generalizados Q_{n} tiene la presentación
~\langle g,h\mid g^{2^{n - 1}} = 1, hgh^{-1} = g^{-1}, h^{2} = h^{2^{n-2}}\rangle.

Se trata de un grupo de orden ~2^n. Para n = 3, esta presentación nos da el grupo conocido de quaterniones de orden 8.

  • Otro ejemplo más complejo es la presentación
~\langle A,B\mid(ABA)^4=E, ABA=BAB\rangle,

que determina un grupo que es isomorfo a SL(2,\mathbb{Z}) un ejemplo de grupo lineal especial.

Producto libre y producto directo[editar]

Si G tiene una presentación ~\langle S\mid R\rangle y H una presentación ~\langle T\mid Q\rangle con H y T disjuntos, entonces el producto libre G \ast H tiene una presentación ~\langle S,T\mid R, Q\rangle.

Si G tiene una presentación ~\langle S\mid R\rangle y H una presentación ~\langle S\mid R\rangle con S y Y disjuntos, entonces el producto directo de G y H tiene una presentación ~\langle S,T\mid R, Q, [S, T]\rangle, donde [S,T] representa las relaciones necesarias para que todo elemento de S conmute con todo elemento de T.

Bibliografía[editar]

  1. Serge, L. Algebra. (2002) Springer-Verlag, New York.
  2. Rotman, J. Advanced Modern Algebra. (2003) Prentice Hall.
  3. Grillet, P. Abstract Algebra. 2007 Springer Science, New York.