Función compuesta

g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@.

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g[f(x)] para todo x perteneciente a X. Se lee "f compuesta con g", "f en g", "f entonces g", "g de f" o "g círculo f". F°G= F[g(x)] queriendo decir que x pertenece a dominio de g y g(x) pertenece a F.

Definición[editar]

De manera formal, dadas dos funciones:

{\begin{array}{rccl}f:&X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}

y

{\begin{array}{rccl}g:&Y&\longrightarrow &Z\\&y&\longmapsto &z=g(y)\end{array}}

donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición de f con g (nótese que las funciones se nombran en el orden de aplicación a la variable, no en el orden sucesivo de representación):

{\begin{array}{rccl}(g\circ f):&X&\longrightarrow &Z\\&x&\longmapsto &z=g(f(x))\end{array}}

A todos los elementos de X se le asocia una elemento de Z según: $z=g(f(x))$ .

{\begin{array}{rclcl}X&\longrightarrow &Y&\longrightarrow &Z\\x&\longmapsto &y=f(x)&\longmapsto &z=g(f(x))\end{array}}

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Propiedades[editar]

La composición de funciones es asociativa, es decir:

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

$(g\circ f)\neq (f\circ g)$

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².

El elemento neutro y también asociado a la composición de funciones es la función identidad.

Con las tres propiedades anteriores: asociativa, no conmutativa y elemento neutro, las funciones reales de variable real constituyen un monoide para la operación interna de composición de funciones.

Además, la inversa de la composición de dos funciones es:

$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

Ejemplo[editar]

Sean las funciones:

f(x)=x^{2}\,

g(x)=\sin(x)\,

La función compuesta por ende x de g y de f que expresamos:

(g\circ f)(x)=g(f(x))=g((x^{2}))=\sin(x^{2})\,

La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

z=g(x)=\sin(x)\,

y después aplicamos f a z para obtener

y=f(z)=z^{2}=\sin ^{2}(x)\,

Función bien definida[editar]

La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:

Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ∘ f) cumple la condición de existencia.
Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g(f(x)).

Funciones de varias variables[editar]

Es posible la composición parcial de funciones de variables múltiples. La función resultante cuando algún argumento $x i$ de la función $f$ es reemplazado por la función $g$ es denominada una composición de $f$ y $g$ en algunos contextos de ingeniería computacional, y se expresa como $f | x i = g$

f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

Cuando $g$ es una constante simple $b$ , la composición se degenera en una evaluación (parcial), cuyo resultado también es denominado restricción o co-factor.^[1]

f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

En general, la composición de funciones de múltiples variables puede comprender varias otras funciones como argumentos, como es el caso en la definición de función primitiva recursiva. Dado $f$ , y una función de $n$ -iables, y las funciones de $n$ $m$ variables $g 1, ..., g n$ , la composición de $f$ con $g 1, ..., g n$ , es la función de $m$ variables

h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).

A veces ello es denominado la compuesta generalizada o superposición de f con $g 1, ..., g n$ .^[2] La composición parcial en un solo argumento mencionada previamente puede ser representada a partir de este esquema más general asignando todas las funciones argumentos excepto una para ser funciones proyectivas convenientemente elegidas. En este caso $g 1, ..., g n$ puede ser aimilado a una función evaluada vector/tupla en este esquema generalizado, en cuyo caso esto es precisamente la definición estándar de composición de función.^[3]

Un conjunto de operaciones finitas en alguna base X es denominada un clon si contiene todas las proyecciones y es cerrado para una composición generalizada. Es de notar que un clon generalmente contiene operaciones de varias aridades.^[2] La noción de conmutación también encuentra una interesante generalización en el caso multivariante; se dice que una función f de aridad n conmuta con una función g de aridad m si f es un homomorfismo que preserva g, y viceversa, es decir:^[2]

f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).

Una operación unaria siempre conmuta consigo misma, pero no es necesariamente el caso de una operación binaria (o de aridad superior). Una operación binaria (o de aridad superior) que conmuta consigo misma se llama medial o entrópica.^[2]

Referencias[editar]

↑ Bryant, R. E. (August 1986). «Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis». IEEE Transactions on Computers. C-35 (8): 677-691. S2CID 10385726. doi:10.1109/tc.1986.1676819.
↑ ^a ^b ^c ^d Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. pp. 79–80, 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6.
↑ Tourlakis, George (2012). Theory of Computation. John Wiley & Sons. p. 100. ISBN 978-1-118-31533-0.

Enlaces externos[editar]

Weisstein, Eric W. «Composition». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
"Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Datos: Q244761
Multimedia: Composition (mappings) / Q244761

[Bryant_1986-1] Bryant, R. E. (August 1986). «Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis». IEEE Transactions on Computers. C-35 (8): 677-691. S2CID 10385726. doi:10.1109/tc.1986.1676819.

[Bergman_2011-2] Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. pp. 79–80, 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6.

[Tourlakis_2012-3] Tourlakis, George (2012). Theory of Computation. John Wiley & Sons. p. 100. ISBN 978-1-118-31533-0.

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