Factorial

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4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
15 1 307 674 368 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000
50 30 414 093 201 713 378 043 × 1045
70 1,19785717... × 10100
450 1,73336873... × 101000
3.249 6,41233768... × 1010 000
25.206 1,205703438... × 10100 000
100.000 2,8242294079... × 10456 573

El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Por ejemplo:

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el siglo XII por los estudiosos hindúes.

La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático.

La notación matemática actual n! fue usada por primera vez en 1808[1]​ por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó en especial sobre los factoriales toda su vida.

Definición por producto e inducción[editar]

El factorial del número entero positivo n, denotado n!, se define como el producto de todos los números enteros positivos menores o iguales que n.

.

La multiplicación anterior se puede simbolizar también utilizando el operador producto:

.

También es posible definirlo mediante la relación de recurrencia

En esta segunda definición el dominio de la función es el conjunto de los enteros no negativos ℤ≥0 y el codominio es el conjunto de los enteros positivos ℤ+.[2]​ En este caso hay una sucesión recurrente, el cálculo sucesivo de sus elementos se llama proceso recurrente y la igualdad n! = (n - 1)!n se nombra ecuación recurrente.[3]

La segunda definición incorpora la premisa de que

Cero factorial[editar]

Justificación

El número de arreglos de n elementos dispuestos de k a k es A(n;k) = n![(n-k)!]-1

La fórmula se ha obtenido para k>0
la fórmula se puede aplicar para k=0
resultando A(n;0) = n![(n-0)!]-1 = n!/n! = 1
al deducir la fórmula se supone que n≠0, de modo que el conjunto dado tiene al menos un elemento. Si n = 0, se trata del conjunto vacío y como este conjunto tiene un subconjunto único (así mismo), entonces A(0;0) = 1.
si se conviene que 0! = 1, entonces, la fórmula da A(0;0) = 0!/0! = 1.[4]
Extensión

La definición indicada de factorial es válida para números no negativos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.

Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como:

Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:

  • Para cada número entero positivo n mayor o igual que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:

válida para todo número mayor o igual que 1.

Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que:

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n!=1 tendríamos que 0! corresponde a:

Aunque el argumento puede resultar algo convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío usada en muchas otras ramas de las matemáticas.

Propiedades[editar]

  • Si m y n son enteros positivos se cumple que m <n implica m! < n!
  • Si m < n resulta que m! es factor o divisor de n! y se tiene: n! = n(n-1)...(m+1).m! (1)
  • el número n(n-1)...(m+1) es el producto de los n-m factores expuestos mayores de n!
  • n-m es menor que n y reemplazando en (1) se obtiene n! = n(n-1)...(n-m+1).(n-m)![5]
  • , para n> 1. Se aplica propiedad de que la media geométrica de los primeros enteros positivos no excede a la media aritmética de ellos.

Aplicaciones[editar]

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:

donde representa un coeficiente binomial:

De igual forma se puede encontrar en la derivación por la regla del producto para derivadas de orden superior de manera similar que el binomio de newton:

Donde f(n) es la derivada enésima de la función f.

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en la teoría de números.

Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la función gamma de manera que

solo para n > 0. Se puede generalizar aún más, para todo número complejo z que no sea igual a un entero no positivo, mediante la siguiente definición:

Productos similares[editar]

Primorial[editar]

El primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n.

Doble factorial[editar]

Se define el doble factorial de n mediante la relación de recurrencia:

Por ejemplo:

La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 en OEIS) para:

Empieza así:

La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:

Y esta es la sucesión de dobles factoriales para:

El doble factorial de un número negativo par no está definido.

Algunas identidades de los dobles factoriales:

Véase también[editar]

Referencias y citas[editar]

  1. Higgins, Peter (2008), Number Story: From Counting to Cryptography, New York: Copernicus, p. 12, ISBN 978-1-84800-000-1 
  2. «Sucesiones recurrentes» de A. I. Markushévich, Editorial Progreso, 1998
  3. Fuente ut supra
  4. G.N. Yákovliev. Algebra y principios del análisis 2. Editorial Mir, Moscú /1984
  5. A. Adrián Albert: Álgebra superior, UTEHA, México /1991

Enlaces externos[editar]