Teorema de Cayley

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El Teorema de Cayley es un resultado de teoría de grupos que permite representar cualquier grupo como un grupo de permutaciones.

Todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico. Si el grupo es finito y tiene orden n, entonces es isomorfo a un subgrupo de



Demostración[editar]

Sea G un grupo y g un elemento de este grupo. Definimos la aplicación de G en G como la traslación a la izquierda :

.

La asociatividad de la ley de grupos confirma que :

.

Se deduce en particular que es una permutación de biyeccion recíproca , lo que permite definir una aplicación de G en S(G) por :

  • Por tanto, la imagen de , notada Im(), es un subgrupo de S(G).
  • Demostremos que es inyectiva. Para ello consideremos g y h dos elementos del grupo. Si y son iguales, entonces las imágenes del elemento neutro por dos aplicaciones también son iguales y g es igual a h. Esto prueba que la aplicación es efectivamente inyectiva.
  • La aplicación G en Im() que a todo elemento de G asocia est entonces también un morfismo inyectivo. Además es sobreyectiva por propia construcción, y por tanto un isomorfismo de grupos. Así pues, G es isomorfo a su imagen, un subgrupo de S(G).

Bibliografía[editar]

David Steven Dummit (2004). Abstract algebra (3rd edición). Wiley. ISBN 0471433349.