Teorema de Cayley

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El teorema de Cayley es un resultado de teoría de grupos que permite representar cualquier grupo como un grupo de permutaciones.

Todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico. Si el grupo es finito y tiene orden n, entonces es isomorfo a un subgrupo de


Historia[editar]

Aunque ahora parezca bastante elemental, en su época las definiciones modernas no existían y cuando Cayley introdujo lo que ahora se denomina grupo, no quedó claro de inmediato que eso era equivalente a los grupos previamente conocidos, que ahora se llaman grupos de permutación. El teorema de Cayley unificó ambos.

Aunque Burnside[1] atribuyó el teorema a Camille Jordan,[2] Eric Nummela,[3] sin embargo, argumentó que el nombre estándar —"Teorema de Cayley"— es de hecho apropiado. El matemático británico Arthur Cayley (1821-1895), en su artículo original de 1854,[4] demostró que la correspondencia en el teorema era biunívoca, pero no pudo demostrar explícitamente que fuera un homomorfismo (y por lo tanto un isomorfismo). Sin embargo, Nummela señala que Cayley hizo que este resultado fuera conocido por la comunidad matemática dieciséis años antes de Jordan.

Demostración[editar]

Sea G un grupo y g un elemento de este grupo. Se define la aplicación de G en G como la traslación a la izquierda:

.

La asociatividad de la ley de grupos confirma que:

.

Se deduce en particular que es una permutación de biyeccion recíproca , lo que permite definir una aplicación de G en S(G) por:

  • Por tanto, la imagen de , notada Im(), es un subgrupo de S(G).
  • Demostremos que es inyectiva. Para ello se consideran g y h dos elementos del grupo. Si y son iguales, entonces las imágenes del elemento neutro por dos aplicaciones también son iguales y g es igual a h. Esto prueba que la aplicación es efectivamente inyectiva.
  • La aplicación G en Im() que a todo elemento de G asocia est entonces también un morfismo inyectivo. Además es sobreyectiva por propia construcción, y por tanto un isomorfismo de grupos. Así pues, G es isomorfo a su imagen, un subgrupo de S(G).

Notas[editar]

  1. Burnside, William (1911), Theory of Groups of Finite Order (2 edición), Cambridge, ISBN 0-486-49575-2 
  2. Jordan, Camille (1870), Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars 
  3. Nummela, Eric (1980), «Cayley's Theorem for Topological Groups», American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 87 (3): 202-203, doi:10.2307/2321608, JSTOR 2321608 
  4. Cayley, Arthur (1854), «On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1», Philosophical Magazine 7 (42): 40-47 

Bibliografía[editar]

David Steven Dummit (2004). Abstract algebra (3rd edición). Wiley. ISBN 0471433349.