Permutación cíclica

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Un ciclo que deja fijos a los elementos 2 y 5 y mueve cíclicamente al resto.

Una permutación cíclica (o ciclo) es un tipo especial de permutación que fija cierto número de elementos (quizás ninguno) mientras que mueve cíclicamente el resto. En caso de no fijar ningún elemento lo denominaríamos permutación circular.

Más concretamente, si un ciclo afecta a un elemento x cualquiera del conjunto, al aplicar dicho ciclo reiteradamente todos los elementos afectados por el reordenamiento pasarán por la posición de x en algún momento. Y de forma recíproca, el elemento x pasará por todas las posiciones de todos los elementos afectados por la permutación.

Los ciclos son tipos de permutación especialmente importantes, pues pueden usarse como piezas básicas para construir cualquier otra permutación.

Definición formal[editar]

Sea y . Un ciclo de longitud o r-ciclo de es una permutación tal que del conjunto hay elementos diferentes secuenciados, , para los cuales se cumple que:

, de tal manera que si .
y .

Ejemplos[editar]

Ejemplo de un ciclo
  • La permutación es un ciclo que no fija ningún elemento. Por ello, también se dice que es una permutación circular.
Ejemplo de una permutación formada por dos ciclos
  • La permutación no es un ciclo, ya que es una permutación compuesta por dos ciclos.
De hecho, se demuestra que cualquier permutación puede descomponerse como producto de ciclos disjuntos.[1]
  • Transposición: es un ciclo de longitud 2, es decir, un 2-ciclo.

Propiedades[editar]

Notación: Si un elemento de un conjunto se ve 'afectado' por un ciclo entonces decimos que .

  • Sea un ciclo de longitud , entonces
Si entonces se puede escribir como
y es el mínimo natural .
  • Sea un ciclo de longitud , entonces
y además es el mínimo natural .
De ésta proposición se deduce directamente el segundo enunciado de la proposición 1.
  • Sea un ciclo de longitud , entonces

Una calcular el número de permutaciones en una permutación circular se fija arbitráriamente un elemento como el primero y se permuta los restantes, obteniéndose:

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Birkhoff & MacLane, A survey of modern algebra, McMillan Publishing, 1977. ISBN 0-02-310070-2