Función biyectiva

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Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que .

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, si para todo de se cumple que existe un único de , tal que la función evaluada en es igual a .

Dados dos conjuntos e finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si e tienen el mismo número de elementos.

Proposición[editar]

Si es una función real biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.

Ejemplo[editar]

La función::

es biyectiva.

Luego, su inversa:

[1] [2]

también lo es.[3]

El siguiente diagrama de grafos bipartitos se puede ver cuando la función es biyectiva:

Funciones Inyectiva No inyectiva
Sobreyectiva
Correspon 1602.svg
Biyectiva
Correspon 1502.svg
No sobreyectiva Correspon 1402.svg Correspon 1302.svg

Ejemplos.[editar]

Asientos y alumnos en una sala de clase.

En una clase hay un determinado número de asientos. Un grupo de estudiantes ingresa a la clase y el profesor les pide a todos que se sienten. Después de hacer una rápida observación de la sala de clase, el profesor declara con seguridad que hay una biyectividad entre el grupo de estudiantes y la cantidad de asientos, donde cada estudiante esta emparejado con el asiento que le corresponde. Lo que el profesor tuvo que observar para poder hacer esta declaración es:

  1. Todos los estudiantes estaban sentados (nadie estaba de pie),
  2. Ningún estudiante estaba sentado en mas de un asiento,
  3. Cada asiento estaba ocupado (no había asientos vacios), y.
  4. Ningún asiento estaba ocupado por mas de un estudiante.

El profesor, gracias a esa observación, pudo concluir que había igual cantidad de asientos como de estudiantes, sin tener que contar la cantidad de asientos.

Cardinalidad y biyectividad[editar]

Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función biyectiva tienen cardinales que cumplen:

Homeomorfismo[editar]

Se define un homeomorfismo como una aplicación entre dos espacios topológicos verificando ser una transformación biyectiva y bicontinua. [4]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Notación que permite obtener de fº f-1 o de f-1 º f la función identidad.
  2. Gatica. Introducción a la integral de Lebesgue. Ediciones OEA
  3. Como consecuencia de la afirmación de que toda función biyectiva tiene una inversa también biyectiva, lo cual se puede intuir gráficamente, se deduce analíticamente que el Dominio de toda función biyectiva corresponde a la Imagen de su inversa, y viceversa.
  4. Ayala y otros. "Elementos de topología general". ISBN 84-7829-006-0

Enlaces externos[editar]