Modelización combinatoria

Una modelización matemática se basa en la compresión de fenómenos reales, obteniendo resultados matemáticos. Dubois (1984) propone cuatro modelizaciones distintas que se encuentran relacionadas entre sí:

• 1ª modelización: selección o muestreo simple de una muestra a partir de k objetos de un total de n objetos distinguibles.
• 2ª modelización: distribución, almacenamiento o colocación de k objetos en n recipientes.
• 3ª modelización: partición en subconjuntos n de un conjunto de objetos k
• 4ª modelización: descomposición de un número natural k en n sumandos enteros no negativos.

1ª Modelización

Selección o muestreo simple, de $k$ objetos de un total de $n$ objetos distinguibles.

En esta modelización hay 4 posibles tipos de selección:

Muestra ordenada

Si la muestra está ordenada, importa el orden de sus objetos, se hallan con los siguientes casos:

• Sin reemplazamiento:

El número de selecciones que se producen viene dada por la Variación: $V(n,k)$.

• Con reemplazamiento:

La cantidad de selecciones se calculan mediante Variaciones con repetición: $VR(n,k)$.

Muestra no ordenada

Si la muestra no está ordenada, el orden de sus objetos no es importante, se distinguen estos casos:

• Sin reemplazamiento:

Las posibles selecciones en este caso se obtienen con Combinaciones: $C_{n,k}$.

• Con reemplazamiento:

El número total de selecciones viene dado por Combinaciones con repetición: $CR_{n,k}$.

Hay un caso particular de Variación: $V(n,n)$ que se conoce como Permutación: $P{n}$, este caso corresponde al número de muestras ordenadas sin reemplazamiento de n objetos de un conjunto de n objetos distinguibles.

Sin reemplazamiento se refiere a que el elemento utilizado ya no puede volverse a usar, mientras con reemplazamiento si.

2ª Modelización

Distribución, almacenamiento o colocación de k objetos en n recipientes.

Para dicha modelización hay que diferencia la situación en la que se encuentran los n recipientes para saber el tipo de aplicación a la que corresponde.

• Aplicaciones cualesquiera: recipientes vacíos o con más de un objeto.
• Aplicación inyectiva: todos los recipientes tienen uno o ningún objeto.
• Aplicación sobreyectiva: no hay ningún recipiente vacío y puede tener más de un objeto.
• Aplicación biyectiva: todos los recipientes poseen solo objeto.

Distribución ordenada

Si la distribución se encuentra ordenada existen 8 tipos de distribuciones, en las que los objetos serán distinguibles. Podemos diferenciar entre recipientes distinguibles e indistinguibles.

• En los recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:

• Aplicaciones cualesquiera:

El número de distribuciones viene dado por el producto de Permutación por Combinación con repetición: P(k)CR(n,k).

• Aplicación inyectiva:

El número de distribuciones viene dado por la Variación: V(n,k) .

• Aplicación sobreyectiva:

Para averiguar el número de distribuciones se realiza el producto de Permutación por los números de Lah sin signo: P(n)L(k,n).

• Aplicación biyectiva:

El número de distribuciones se calcula por la Permutación: P(n).

• En los recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones::

• Aplicaciones cualesquiera:

El número de distribuciones viene dado por $A(k,n)$ = $\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle L(k,i)$.

• Aplicación inyectiva:

El número de distribuciones es 1.

• Aplicación sobreyectiva:

Para averiguar el número de distribuciones se utiliza los números de Lah sin signo: L(k,n).

• Aplicación biyectiva:

El número de distribuciones es 1.

Distribución no ordenada

Si la distribución se encuentra ordenada existen 16 tipos de distribuciones, en las que podemos diferenciar entre objetos distinguibles e indistinguibles.

• En los objetos distinguibles, podemos observar los siguientes recipientes:

• Recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:

• Aplicaciones cualesquiera:

El número de distribuciones viene dado por la Variación con repetición: VR(n,k).

• Aplicación inyectiva:

El número de distribuciones viene dado por la Variación: V(n,k).

• Aplicación sobreyectiva:

El número de distribuciones viene dado por el producto de Permutación por el número de Stirling de 2.ª especie:P(n)S(k, n).

• Aplicación biyectiva:

El número de distribuciones se calcula por la Permutación: P(n).

• Recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:

• Aplicaciones cualesquiera:

$\sum (k,n)$.

• Aplicación inyectiva:

El número de distribuciones es 1.

• Aplicación sobreyectiva:

El número de distribuciones se calcula por el número de Stirling de 2.ª especie: S(k, n).

• Aplicación biyectiva:

El número de distribuciones es 1.

• En los objetos indistinguibles, podemos observar los siguientes recipientes:

• Recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:

• Aplicaciones cualesquiera:

El número de distribuciones viene dado por Combinación con repetición: CR(n,k).

• Aplicación inyectiva:

El número de distribuciones viene dado por Combinación : C(n,k).

• Aplicación sobreyectiva:

El número de distribuciones viene dado por Combinación con repetición: CR(n,k-n).

• Aplicación biyectiva:

El número de distribuciones es 1.

• Recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:

• Aplicaciones cualesquiera:

Π(k,n).

• Aplicación inyectiva:

El número de distribuciones es 1.

• Aplicación sobreyectiva:

El número de distribuciones viene dado por p(k,n) que satisface la recurrencia.

• Aplicación biyectiva:

El número de distribuciones es 1.

3ª Modelización

Partición de un conjunto $S$ de $k$ elementos en $n$ subconjuntos.

En esta modelización se pueden diferenciar distintos tipos de particiones simples:

Subconjunto no ordenado y elementos distinguibles

Si el subconjunto no está ordenado y sus elementos son distinguibles se aprecian 8 tipos de particiones:

• Particiones ordenadas:
  • Vacío y no unitarios:

Para obtener el número de particiones se hace mediante Variaciones con repetición: $VR(n,k)$.

• Vacío y unitarios:

El total de particiones se obtiene con Variaciones: $V(n,k)$.

• No vacíos:

El cálculo de dichas particiones se consiguen mediante el producto de la Permutación por el Números de Stirling de segunda especie: $P(n)$$S(k,n)$.

• Unitarios:

La cantidad de particiones viene dada por la Permutación: $P{n}$.

• Particiones no ordenadas:
  • Vacío y no unitarios:

$\sum (k,n)$.

• Vacío y unitarios:

El número de posibles particiones es 1.

• No vacíos:

El número de particiones viene dada por el Números de Stirling de segunda especie: $S(k,n)$.

• Unitarios:

El número de posibles particiones es 1.

Subconjunto no ordenado y elementos indistinguibles

Si el subconjunto no está ordenado y sus elementos no se pueden distinguir, pueden apreciarse 8 tipos:

• Particiones ordenadas:
  • Vacío y no unitarios:

Para calcular las posibles particiones hay que utilizar Combinaciones con repetición: $CR(n,k)$.

• Vacío y unitarios:

El número total de particiones viene dado por Combinaciones: $C_{n,k}$.

• No vacíos:

La cantidad de particiones se calcula mediante Combinaciones con repetición: $CR(n,k-n)$.

• Unitarios:

El número de posibles particiones es 1.

• Particiones no ordenadas:
  • Vacío y no unitarios:

$\prod (k,n)$.

• Vacío y unitarios:

El número de posibles particiones es 1.

• No vacíos:

$p(k,n)$.

$p(k,n)$ tiene que satisfacer la recurrencia $p(k,n)$ = $p(k-1,n-1)$ + $p(k-n,n)$ $(1<n<k)$, con $p(0,0)$ = 1 y $p(k,1)$ = $p(n,n)$ = 1 $(1\leqslant k,n)$

• Unitarios:

El número de posibles particiones es 1.

Subconjunto ordenado y elementos distinguibles

Si el subconjunto se encuentra ordenado y cuyos elementos son distinguibles, hay 8 tipos de particiones:

• Particiones ordenadas:
  • Vacío y no unitarios:

El número total de particiones se calcula con el producto de la Permutación por Combinaciones con repetición: $P(n)$$CR(n,k)$.

• Vacío y unitarios:

Las posibles particiones vienen dada por la Variación: $V(n,k)$.

• No vacíos:

Para el cálculo de las posibles particiones se realiza el producto de la Permutación por los números de Lah sin singno: $P(n)$$L(k,n)$.

• Unitarios:

El número de particiones viene dada por Permutación: $P{n}$.

• Particiones no ordenadas:
  • Vacío y no unitarios:

El cálculo de particiones viene dado por $A(k,n)$ = $\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle L(k,i)$.

• Vacío y unitarios:

El número de posibles particiones es 1.

• No vacíos:

Las particiones se calcular mediante los números de Lah sin singno $L(k,n)$ = ${k! \over n!}{\binom {k-1}{n-1}}$.

• Unitarios:

El número de posibles particiones es 1.

Cuando un subconjunto está vacío se refiere a que dentro de él no hay ningún elemento. Cuando es unitario se debe a que en cada subconjunto solo hay un elemento y no unitario porque hay más de un elemento.

4ª Modelización

Descomposición de un número natural k en n sumandos enteros no negativos. Un entero positivo k se puede descomponer en n sumandos enteros no negativos, se clasifican dependiendo de su descomposición y sus sumandos:

• La descomposición se puede calificar en dos tipos:

• Ordena
• No ordenada

• Los sumandos pueden clasificarse como:

• No negativos
• Cero y uno
• Positivos
• Uno

Descomposición ordenada

Si la descomposición se encuentra ordenada existen 4 tipos de descomposiciones, dependerán del tipo de sumando que sea:

• No negativos

El número de descomposiciones vienen dados por la Combinación con repetición: CR(n,k)

• Cero y uno

El número de descomposiciones se calculan por la Combinación: C(n,k)

• Positivos

Las descomposiciones se calculan por la Combinación con repetición: CR(n,k-n)

• Uno

El número de distribuciones es 1

Descomposición desordenada

Si la descomposición se encuentra desordenada existen 4 tipos de descomposiciones, dependerán del tipo de sumando que sea:

• No negativos

Π(k,n)

• Cero y uno

El número de distribuciones es 1

• Positivos

El número de distribuciones viene dado por p(k,n) que satisface la recurrencia

• Uno

El número de distribuciones es 1

Enlaces externos

Modelización

Referencias

• Dubois, Jean-Guy. Une systématique des configurations combinatoires simples. Educational Studies in Mathematics 15, 37–57 (1984) doi:10.1007/BF00380438
• V. Navarro-Pelayo; Carmen Batanero; Juan D. Godino (1996). Razonamiento Combinatorio en Alumnos de Secundaria.
• Rafael Roa (2000). Razonamiento Combinatorio en Estudiantes con Preparación Matemática Avanzada.
• Tan Mingshu (2011). Some Combinatorial Identities and Explanations Based on Occupancy Model. Archivado el 19 de febrero de 2019 en Wayback Machine.
• Moreno Carretero, María Francisca (1998). Didáctica de la matemática en la educación secundaria: manual para la formación inicial del profesorado de secundaria. ISBN 9788482401171. 

• Datos: Q65046122