Equivalencia lógica

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Sin embargo, estos símbolos también se usan para la equivalencia material; su apropiada interpretación depende del contexto. La equivalencia lógica es diferente a la equivalencia material, aunque ambos conceptos estén estrechamente relacionados.

Equivalencias lógicas[editar]

Equivalencia Nombre
p∧T≡p
p∨F≡p
Leyes de identidad
p∨TT
p∧FF
Leyes de dominación
p∨p≡p
p∧p≡p
Leyes de idempotencia
﹁(﹁p)≡p Leyes de doble negación
p∨q≡q∨p
p∧q≡q∧p
Leyes de conmutación
(p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
(p∧q)∧r≡p∧(q∧r)
Leyes de asociación
p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)
Leyes de distribución
﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q
﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q
Leyes de De Morgan
p∨(p∧q)≡p
p∧(p∨q)≡p
Leyes de absorción
p∨﹁p≡T
p∧﹁p≡F
Leyes de negación

Equivalencias lógicas que involucran declaraciones condicionales:

  1. p→q≡﹁p∨q
  2. p→q≡﹁q→﹁p
  3. p∨q≡﹁p→q
  4. p∧q≡﹁(p→﹁q)
  5. ﹁(p→q)≡p∧﹁q
  6. (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
  7. (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
  8. (p→r)∧(q→r)≡(p∧q)→r
  9. (p→r)∨(q→r)≡(p∨q)→r



Equivalencias lógicas que involucran bicondicionales:

  1. p↔q≡(p→q)∧(q→p)
  2. p↔q≡﹁p↔﹁q
  3. p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)
  4. ﹁(p↔q)≡p↔﹁q

Ejemplo[editar]

Las dos sentencias siguientes son lógicamente equivalentes:

  1. Si Lisa está en Francia, entonces ella está en Europa (en símbolos, f \rightarrow e).
  2. Si Lisa no está en Europa, entonces ella no está en Francia (en símbolos, \neg e \rightarrow \neg f).

Sintácticamente, (1) y (2) son derivables cada una de la otra a través de la regla de contraposición y doble negación. Semánticamente, (1) y (2) son verdaderas en exactamente los mismos modelos (interpretaciones, valuaciones); a saber, aquellos en que Lisa está en Francia es falso o bien Lisa está en Europa es verdadero.

(Tener en cuenta que en este ejemplo se supone lógica clásica. Algunas lógicas no clásicas no consideran (1) y (2) lógicamente equivalentes.)

Representación de equivalencias con cuantificadores universales y existenciales[editar]

Se tienen las siguientes relaciones; utilizando cuantificadores y conectivas lógicas:


   \forall x \in A \; : \quad P(x)
   \qquad \longleftrightarrow \qquad
   \neg \exists x \in A \; : \quad \neg P(x)
Si: para todo x de A se cumple P(x), es equivalente a: no existe x en A que no cumpla P(x).

   \exists x \in A \; : \quad P(x)
   \qquad \longleftrightarrow \qquad
   \neg \forall x\in A \; : \quad \neg P(x)
Si: existe x en A que cumple P(x), es equivalente a: no para todo x de A, no se cumple P(x).

En cuanto al cuantificador existencial único puede considerarse una extensión por definición en un lenguaje formal con igualdad teniendo dada la equivalencia:


   \exists ! x \in A \; : \quad P(x)
   \qquad \longleftrightarrow \qquad
   \forall x, y \in A \; : \quad  P(x) \; \land \; P(y)
   \rightarrow
   x = y
Si: existe un único x en A que cumple P(x), es equivalente a: para todo x, y de A, que cumple P(x) y P(y), entonces x es igual a y.

Relación con la equivalencia material[editar]

Equivalencia lógica es diferente de la equivalencia material. La equivalencia material de las p y q (escrito muchas veces pq) es en sí mismo otra declaración, lo llaman r, en la misma lengua objeto como p y q. r expresa la idea de "p si y solo si q". En particular, el valor de verdad de pq puede cambiar de un modelo a otro.

La afirmación de que dos fórmulas son lógicamente equivalentes es una declaración en metalenguaje, que expresa una relación entre dos declaraciones p y q. La afirmación de que p y q son semánticamente equivalentes no depende de ningún modelo en particular, sino que dice que en todos los modelos posibles, p tendrá el mismo valor de verdad lo q. La afirmación de que p y q son sintácticamente equivalentes no depende de modelos en todo, sino que afirma que existe una deducción de q a partir p y una deducción de p a partir q.

Existe una estrecha relación entre la equivalencia material y equivalencia lógica. Las fórmulas p y q son sintácticamente equivalentes si y solo si pq es un teorema, mientras que p y q son semánticamente equivalentes si y solo si pq es verdad en todos los modelos (es decir, pq es lógicamente válido).

Véase también[editar]

Referencias[editar]