Contraposición lógica

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En lógica, la contraposición lógica es una ley que dice que, para cada sentencia condicional, hay una equivalencia lógica entre la misma y su contraposición. En la contraposición de una sentencia, el antecedente y consecuente son invertidos y negados: por lo tanto, la contraposición de P \rightarrow Q es, por lo tanto, \neg Q \rightarrow \neg P . Por ejemplo, la proposición "Todos los murciélagos son mamíferos" puede ser reescrita en su forma condicional "Si algo es murciélago, entonces es mamífero." Por último, la ley dice que la sentencia es idéntica a su contrapositiva "Si algo no es mamífero, entonces no es murciélago."

La contrapositiva puede ser comparada con otras tres relaciones entre sentencias condicionales:

"Si algo no es murciélago, entonces no es mamífero." A diferencia de la contrapositiva, el valor-verdad de la inversa no depende del todo del valor de verdad de la sentencia original. La inversa, aquí, claramente no es verdadera.

"Si algo es mamífero, por lo que es murciélago." Lo contrario es, de hecho, la contrapositiva de la inversa, por lo tanto, siempre posee el mismo valor-verdad de inversa, por lo tanto, no es necesariamente el mismo que el de la proposición original.

"Existe un murciélago que no es mamífero." Si la negación es verdadera, la proposición original (y, consecuentemente, la contrapositiva) es falsa. En el ejemplo mostrado, la negación es claramente falsa.

Note que si P \rightarrow Q es verdadera y nos es informado de que Q é falsa, \neg Q, puede ser lógicamente inferido que P debe ser falso, \neg P. Esto es, normalmente, llamado ley de la contrapositiva, o de regla de inferencia modus tollens.

Explicación intuitiva[editar]

Venn A subset B.svg

Considere el diagrama de Venn de la derecha. Está claro que, si algo está en A, también debe estar en B. Podemos reescribir "Todo A está en B", como

A \to B

También está claro que cualquier cosa que no está en B, también no puede estar en A. Esa sentencia,

\neg B \to \neg A

es la contrapositiva. Así, podemos decir que

(A \to B) \to (\neg B \to \neg A)

En la práctica, esto puede facilitar bastante al intentar probar algo. Por ejemplo, si queremos demostrar que todas las chicas de Estados Unidos (A) son rubias (B), podemos o bien tratar de probar (A \to B), revisando cada una de las chicas de Estados Unidos para ver si son todas rubias. O, alternativamente, podemos tratar de probar (\neg B \to \ neg A), comprobando que todas las chicas que no son rubias para ver si todas están fuera de EE.UU.. Esto significa que si encontramos al menos una chica no rubia en Estados Unidos, hemos refutado (\neg B \to \neg A), lo que equivale a (A \to B).

En síntesis, para cualquier juicio que A implica B, entonces no B siempre implica no A. Probar o refutar cualquiera de las dos sentencias automáticamente prueba o refuta la otra. Son completamente equivalentes.

Definición formal[editar]

La proposición Q está implícita en la proposición P cuando la siguiente relación es verdadera:

(P \to Q)

En términos coloquiales, esto significa que "si P, entonces Q", o, "si Sócrates es hombre, entonces Sócrates es humano." En un condicional como ese, P es el antecedente, y Q es el consecuente. Una sentencia es contrapositiva de otra solamente cuando su antecedente es la negación del consecuente de la otra, y viceversa. La contrapositiva del ejemplo es

(\neg Q \to \neg P).

Esto es, "Si no Q, entonces no P", o más precisamente "Si Q no es el caso, entonces P no es el caso." Usando nuestro ejemplo, "Si Sócrates no es humano, entonces Sócrates no es un hombre." Esta sentencia se dice que es contrapuesta con relación a la original y las dos son lógicamente equivalentes. Debido a la equivalencia lógica, afirmar una afirma automáticamente la otra: cuando una es verdadero, la otra también. Lo mismo ocurre para la falsedad.

Rigurosamente, la oposición solo puede existir en dos condicionales simples. Sin embargo, la oposición también puede existir en dos condicionales complejos, si los mismos son semejantes. Por lo tanto, \forall{x}(P{x} \to Q{x}), o "Todos los Ps son Qs," tiene como contrapositiva \forall{x}(\neg Q{x} \to \neg P{x}), o "Todo no Q es no P."

Prueba simple utilizando la definición de condicional[editar]

En la lógica de primer orden, una sentencia condicional es definida como:

A \to B \iff \neg A \or B

Se tiene:

\neg A \or B \iff \neg  A \or (\neg \neg B)
\iff \neg (\neg B) \or \neg A
 \iff \neg B \to \neg A

Prueba simple por contradicción[editar]

Sea:

(A \to B)\and \neg B

Es como si A es verdad, entonces B es verdad, y también se da que B es falso. Entonces podemos, entonces, mostrar que A no debe ser verdad, por contradicción. Por ejemplo, si A fuese verdadero, entonces B también tendría que ser verdadero (dado). Sin embargo, se nos da que B no es verdadero, entonces tenemos una contradicción. Luego, A no es verdad (suponiendo que estamos tratando con declaraciones concretas que solo pueden ser verdaderas o falsas (ley del tercero excluido)):

(A \to B) \to (\neg B \to \neg A)

Podemos aplicar el mismo proceso en sentido contrario:

También sabemos que B o es verdadero o falso. Si B es falso, entonces A es también. Sin embargo, se da que A es verdad. Así, la suposición de que B es falso nos lleva a una contradicción, por lo tanto, debe ser falsa. Por lo tanto, B debe ser verdadero:

(\neg B \to \neg A) \to (A \to B)

Combinando los dos argumentos, llegamos a la equivalencia:

(A \to B) \iff (\neg B \to \neg A)

Prueba más rigurosa de la equivalencia de contrapositivos[editar]

La equivalencia lógica entre dos proposiciones significa que ambas son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsa. Para probar que una sentencia y su contrapositiva son lógicamente equivalentes, se tiene que entender cuando una implicación es verdadera o falsa.

(P \to Q)

Esta sentencia es falsa solo cuando P es verdadero y Q es falso. Así, podemos reducir esta proposición a la sentencia "Falso cuando P y no Q" (es decir, "Verdadero cuando P no es el caso y no Q"):

\neg(P \and \neg Q)

Los elementos de una conjunción lógica pueden ser revertidos sin cambiar el significado de la frase (por conmutatividad):

\neg(\neg Q \and P)

Se define R como igual a "\neg Q", y S como igual a \neg P, (también, \neg S es igual a P solamente):

\neg(R \and \neg S)

Esta frase se lee como "No es cierto que (R es verdadero y S es falso)", que es la definición de un condicional. Entonces podemos realizar la siguiente sustitución:

(R \to S)

Cuando se intercambia las definiciones de R y S, se llega a:

(\neg Q \to \neg P)

Comparaciones[editar]

nombre forma descripción
implicación Si P entonces Q la primera proposición implica la veracidad de la segunda
inversa Si no P entonces no Q negación de ambas proposiciones
recíproco Si Q entonces P invierte el orden de las proposiciones
contrapositivo si no Q entonces no P invierte el orden y niega las proposiciones
negación P y no Q contradice la implicación

Ejemplos[editar]

Considere la sentencia "Todo objeto rojo tiene color.". La misma puede ser expresada de manera equivalente como "Si un objeto es de color rojo, y luego tener el mismo color."

  • La contrapositiva es "Si un objeto no tiene color, entonces el mismo es de color rojo." Esto es consecuencia lógica de nuestra sentencia inicial y, así como la original, es evidentemente, verdadera.
  • La inversa es "Si un objeto no es rojo, entonces no tiene color.". Una vez más, un objeto que es de color azul no es rojo, y aún así tiene color. Por lo tanto, en este caso, la inversión vuelve falsa a la sentencia.
  • El recíproco es "Si un objeto tiene color, entonces es rojo." Los objetos se tienen otros colores, por lo que el recíproco de nuestra declaración es falsa.
  • La negación es "¿Hay algún objeto rojo que no tenga propiedad de color". Si eso fuera verdad, entonces tanto el recíproco como el reverso deberían ser cierto exactamente este caso en que el rojo no es un color. Sin embargo, en la Tierra esa afirmación es completamente falsa.

En otras palabras, la contrapositiva es lógicamente equivalente a un determinado condicional, aunque no es válida para bicondicionales ('si y sólo si').

Del mismo modo, considere la sentencia "Todo cuadrilátero tiene cuatro lados", o, expresado de forma equivalente: "Si un polígono es un cuadrilátero, entonces el mismo tiene cuatro lados."

  • La contrapositiva es "Si un polígono tiene cuatro lados, así que no es un cuadrilátero." Como dice la ley, la contrapositiva comparte el valor de verdad del condicional original.
  • La inversa es "Si un polígono no es un cuadrilátero, entonces el mismo no tiene cuatro lados." En este caso, a diferencia de este último ejemplo, la inversa es verdadera.
  • Lo contrario es "Si un polígono tiene cuatro lados, entonces el mismo es un cuadrilátero." Nuevamente, en este caso, a diferencia del ejemplo anterior, el recíproco es verdadero.
  • La negación es "Existe al menos un cuadrilátero que no tiene cuatro lados." Esta frase es obviamente falsa.

Como la sentencia y su recíproco son ambas verdaderas, esta afirmación se llama bicondicional, y puede expresarse como "Un polígono es un cuadrilátero si y solamente si tiene cuatro lados." (La frase si y solamente si puede ser abreviada como IFF.) Esto es, tener cuatro lados para ser es un cuadrilátero y también suficiente para que un polígono sea cuadrilátero.

Veracidad[editar]

  • Si una sentencia es verdadera, entonces su contrapositiva es cierto (y viceversa).
  • Si una sentencia es falsa, entonces su contrapositiva es falsa (y viceversa).
  • Si la inversa de una sentencia es verdadera, entonces su inverso es cierto (y viceversa).
  • Si la inversa de una sentencia es falsa, entonces su contrario es falsa (y viceversa).
  • Si la negación de una sentencia es falsa, entonces la frase es verdadera (y viceversa).
  • Si una sentencia (o su contrapositiva) y la inversa (o su recíproco) son amabas verdaderas o ambas falsas, la misma puede ser llamada bicondicional lógico.

Aplicación[editar]

Como la contrapositiva de una sentencia siempre tiene el mismo valor de verdad (verdadero o falso) que la sentencia, puede ser una herramienta bastante útil para demostrar teoremas matemáticos. Una prueba por contradicción es una prueba directa de la contrapositiva de una declaración.[1] Sin embargo, los métodos indirectos también se pueden utilizar con contraposición, como por ejemplo la prueba por contradicción, por ejemplo, en la prueba de irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. Por la definición de un número racional, podemos decir que "Si \sqrt{2} es racional, entonces el mismo se puede expresar por una fracción irreducible." Esta frase es verdadera, pues una manera de volver a reescribir la definición (verdadera). La contrapositiva de esta sentencia es "Si \sqrt{2} no puede ser expresado a través de una fracción irreeducible, entonces no es racional." Esta contrapositiva, así como la sentencia original, también es verdadera. Por lo tanto, se puede demostrar que \sqrt{2} no puede ser expresada como una fracción irreducible, entonces debe ser cierto que \sqrt{2} no es un número racional. Este último puede ser probado por la contradicción.

El ejemplo anterior utiliza la contrapositiva de una definición de demostrar un teorema. También se puede probar un teorema que demuestra la contrapositiva de la declaración del teorema. Para probar que, si un entero positivo N es un número no cuadrado, a su vez, su raíz cuadrada es irracional, que no puede demostrar su equivalente positivo frente que si un entero positivo N tiene una raíz cuadrada, que es racional, entonces N es un número cuadrado. Esto se puede demostrar mediante la creación de √N igual a la expresión racional a/b con a y b siendo números enteros positivos sin ningún factor primo en común, y en cuadratura para obtener N = a2/b2 y notar que una vez que N sea un número entero positivo b=1 de modo que N = a2, un número cuadrado.

Véase también[editar]

Referencia[editar]

  1. (en inglés) A Transition to Advanced Mathematics (5ta edición), Brooks/Cole, 2001, p. 37, ISBN 0-534-38214-2 

Bibliografía[editar]

  • Mitchell, D (1990). Introducción a la lógica. Barcelona: Editorial Labor. 

Enlace externo[editar]