Modus tollendo tollens

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El modus tollendo tollens (latín: "el modo que, al negar, niega"[1] , conocido como modus tollens,[2] [3] [4] [5] negación del consecuente o ley de contraposición)[6] es una forma de argumento válida y una regla de inferencia en lógica proposicional. Es una aplicación de la verdad general de que, si una declaración es válida, también lo es su contraposición. La historia de la regla modus tollendo tollens se remonta a la antigüedad.[7] Los primeros en declarar explícitamente la forma de argumento modus tollendo tollens fueron los estoicos.[8]

La regla de inferencia modus tollendo tollens establece que si una primera afirmación implica una segunda afirmación; y la segunda afirmación no es verdadera; se puede inferir que la primera no puede ser verdadera. Es decir, si implica ; y no es verdadera; entonces tampoco es verdadera.

Esta regla se puede afirmar formalmente como:

donde significa "P implica Q", significa "no es el caso de que Q" (o en resumen "no Q"). Entonces, cada vez que "" y "" aparecen por sí mismas como líneas de una prueba, "" se puede colocar válidamente en una línea posterior.

Un ejemplo de modus tollendo tollens es:

Si está lloviendo, te espero dentro del teatro.
No te espero dentro del teatro.
Por lo tanto: no está lloviendo.

El modus tollendo tollens está estrechamente relacionado con el modus ponens o silogismo disyuntivo. Estos comparten dos formas similares, pero no válidas, de argumento: afirmación del consecuente y negación del antecedente.

Notación formal[editar]

La regla del modus tollendo tollens puede escribirse de diversas formas.

Modus tollendo tollens en notación subsiguiente[editar]

donde es un símbolo metalógico que significa que es una consecuencia sintáctica de y en algún sistema lógico.

Modus tollendo tollens como afirmación de tautología verdad-funcional[editar]

Esta notación también es llamada teorema de la lógica proposicional. Se escribe:

donde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

Modus tollendo tollens incluyendo supuestos[editar]

Se escribe:

aunque dado que la regla no cambia el conjunto de suposiciones, esto no es estrictamente necesario.

Escrituras más complejas[editar]

Muchas veces, se ven reescrituras más complejas que involucran modus tollendo, por ejemplo, en la teoría de conjuntos:

("P es un subconjunto de Q. x no está en Q. Por lo tanto, x no está en P.")

También en la lógica de predicados de primer orden:

("Para todo x si x es P entonces x es Q. Existe algún x que no es Q. Por lo tanto, existe algún x que no es P.")

En sentido estricto no se trata de instancias de tollendo modus, pero podrán derivarse utilizando modus tollendo tollens utilizando algunas medidas adicionales.

Explicación[editar]

El argumento tiene dos premisas. La primera premisa es un condicional o sentencia "si-entonces", por ejemplo que si P entonces Q. La segunda premisa es que no es el caso de Q ("no Q"). A partir de estas dos premisas, se puede concluir lógicamente que no es el caso de P ("no P").

Por ejemplo:

Si el perro guardián detecta un intruso, el perro guardián ladra.
El perro guardián no ladró.
Por lo tanto, el perro guardián no detectó ningún intruso.

Suponiendo que las premisas son verdaderas (el perro ladra si detecta un intruso, y de hecho no ladra), se deduce que ningún intruso ha sido detectado. Este es un argumento válido, ya que no es posible que la conclusión sea falsa si las premisas son verdaderas. (Es concebible que haya habido un intruso que el perro no detectó, pero eso no invalida el argumento; la primera premisa es "Si el perro detecta un intruso"). El hecho importante es que el perro detecta o no detecta un intruso, no si este existe o no.

Otro ejemplo:

Si yo soy el asesino del hacha, entonces puedo usar un hacha.
No puedo usar un hacha.
Por lo tanto, yo no soy el asesino del hacha.

Relación con el modus ponens[editar]

Cada uso de modus tollendo tollens se puede convertir a un uso de modus ponens y un uso de la transposición de la premisa de que es una implicación material. Por ejemplo:

Si P, entonces Q (premisa - implicación material)
Si no Q, entonces no P. (derivado mediante transposición)
No Q. (premisa) Por lo tanto, no P. (derivado por modus ponens)

Del mismo modo, cada uso de modus ponens se puede convertir a un uso de modus tollendo tollens y transposición.

Justificación vía tabla de verdad[editar]

La validez del modus tollendo tollens pueda demostrar claramente a través de una tabla de verdad.

p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V

En los casos de modus tollendo tollens asumimos como premisas que p → q es verdadero y q es falso. Solo hay una línea de la tabla—la cuarta línea—que satisface estas dos condiciones verdaderas. En esta línea, p es falsa. Por lo tanto, en todos los casos en los que p → q es verdadero y q es falso, p también debe ser falso.

Prueba formal[editar]

Vía silogismo disyuntivo[editar]

Paso Proposición Derivación
1 Premisa
2 Premisa
3 Implicación material (1)
4 Silogismo disyuntivo (2,3)

Vía reductio ad absurdum[editar]

Paso Proposición Derivación
1 Premisa
2 Premisa
3 Asunción
4 Modus ponens (1,3)
5 Introducción de la conjunción (2,4)
6 Reductio ad absurdum (3,5)

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Stone, Jon R. 1996. Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language. Londres, RU: Routledge: 60. (en inglés)
  2. University of North Carolina, Philosophy Department, Logic Glossary. Consultado el 31 de octubre de 2007. (en inglés)
  3. Copi y Cohen
  4. Hurley
  5. Moore y Parker
  6. Sanford, David Hawley. 2003. If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning. Londres, RU: Routledge: 39 "[Modus] tollens is always an abbreviation for modus tollendo tollens, the mood that by denying denies. (en inglés)"
  7. Susanne Bobzien (2002). "The Development of Modus Ponens in Antiquity", Phronesis 47. (en inglés)
  8. "Stanford Encyclopedia of Philosophy: Ancient Logic: The Stoics"

Enlaces externos[editar]