Modus ponendo ponens

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

El modus ponendo ponens (latín: "el modo que, al afirmar, afirma"1, también llamado modus ponens,[1] [2] [3] [4] eliminación de la implicación o regla de separación, y generalmente abreviado MP) es una forma de argumento válido y una regla de inferencia en lógica proposicional.[5] Se puede resumir como "si P implica Q; y P es verdad; entonces Q también es verdad."[6] La historia del modus ponendo ponens se remonta a la antigüedad.[7]

El modus ponendo ponens pueden establecerse formalmente como:

donde la regla es cuando "PQ" y "P" aparezcan por sí mismos en una misma línea de una prueba lógica, Q puede ser escrito válidamente en una línea subsiguiente. Nótese que la premisa de P y la implicación se "disuelven", siendo su único rastro el símbolo Q que se mantiene para su uso posterior, por ejemplo, en una deducción más compleja.

Un ejemplo de modus ponendo ponens es:

Si está lloviendo, te espero dentro del teatro.
Está lloviendo.
Por lo tanto, te espero dentro del teatro.

Si bien el modus ponendo ponens es uno de los conceptos más utilizados en la lógica, no debe confundirse con una ley lógica. Más bien, es uno de los mecanismos aceptados para la construcción de pruebas deductivas que incluye la "regla de definición" y la "regla de sustitución".[8] Modus ponendo ponens permite eliminar una sentencia condicional de una prueba lógica o argumento (los antecedentes) y por lo tanto no llevar estos antecedentes adelante en una cadena alargada y constante de símbolos. Por esta razón, el modus ponendo ponens a veces se denomina regla de la separación.[9] Enderton, por ejemplo, observó que "el modus ponendo ponens puede producir fórmulas más cortas de las más largas",[10] y Russell señaló que "el proceso de la inferencia no puede reducirse a los símbolos. Su único registro es la ocurrencia de ⊦ Q [el consecuente]...una inferencia modus ponendo ponens no es tanto el lanzamiento de una premisa verdadera, sino que es la disolución de una implicación".[11]

El modus ponendo ponens está estrechamente relacionado con el modus tollendo tollens. Estos comparten dos formas similares, pero no válidas, de argumento: afirmación del consecuente y negación del antecedente. El dilema constructivo es la versión disyuntiva del modus ponendo ponens. El silogismo hipotético está estrechamente relacionado con el modus ponendo ponens y a veces se lo considera como el "ponens modus doble."

Notación formal[editar]

La regla del modus ponendo ponens puede escribirse en subsiguiente notación:

donde ⊢ es un símbolo metalógico que significa que Q es una consecuencia sintáctica de PQ y P en algún sistema lógico;

o como la afirmación de una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional:

donde P, y Q son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

Explicación[editar]

La forma de argumento tiene dos premisas (hipótesis). La primera premisa es la "si-entonces" o reclamación de condicional, a saber: que P implica Q. La segunda premisa es que P, el antecedente de la alegación condicional, es cierto. A partir de estas dos premisas se puede concluir lógicamente que Q, el consecuente o apódosis de la reclamación de condicional, también debe ser verdad. En inteligencia artificial, el modus ponens usualmente se lo denomina encadenamiento hacia adelante.

Un ejemplo de un argumento que se ajuste a la forma modus ponens:

Si hoy es martes, entonces Juan se irá a trabajar.
Hoy es martes.
Por lo tanto, Juan irá a trabajar.

Este argumento es válido, pero esto no tiene nada que ver con si alguna de las declaraciones en el argumento es verdadera; para que modus ponens sea un argumento sólido, las premisas deberán ser verdaderas para cualquier instancia verdadera de la conclusión. Un argumento puede ser válido, pero, no obstante, poco sólido si una o más premisas son falsas; si un argumento es válido y todas las premisas son verdaderas, entonces el argumento es sólido. El argumento solo es sólido los martes (cuando Juan va a trabajar), pero es válido en todos los días de la semana. Un argumento proposicional usando modus ponens dice que es deductivo.

En cálculo secuencial de conclusión única, el modus ponens es la regla de corte. El teorema de eliminación del corte para un cálculo dice que cada prueba que implica Corte puede ser transformada (por lo general, por un método constructivo) en una prueba sin corte, y de ahí que el corte sea admisible.

La correspondencia de Curry-Howard entre pruebas y programas relaciona el modus ponens a la función aplicación: si f es una función del tipo PQ y x es de tipo P, entonces f x es de tipo Q.

Relación con el Modus Tollens[editar]

Cualquier regla Modus ponens puede probarse mediante una regla Modus Tollens y de transposición. La prueba es el siguiente.

1. P → Q
2. P /∴ Q
3.~Q → ~P 1 Transposición
4.~~ P 2 Doble Negación
5.~~ Q 3,4 Modus Tollens
6. 5 Doble negación

Justificación mediante tabla de verdad[editar]

La validez del modus ponens en la lógica clásica de dos valores se puede demostrar claramente demostrada utilizando una tabla de verdad.

p q pq
V V V
V F F
F V V
F F V


En los casos de modus ponens se asume como premisa que pq es verdadera y p es verdadera. Solo una línea de la tabla de verdad —la primera— satisface estas dos condiciones (p y pq). En esta línea, q también es verdad. Por lo tanto, cada vez que pq sea verdadero y p es verdadero, q debe también ser verdadero.

Vía tollendo ponens[editar]

Paso Proposición Derivación
1 Premisa
2 Premisa
3 Implicación material (1)
4 Modus tollendo tollens (2,3)

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Stone, Jon R. (1996). Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language. Londres, UK: Routledge: 60. 
  2. Copi y Cohen
  3. Hurley
  4. Moore y Parker
  5. Enderton 2001:110
  6. Jago, Mark (2007). Formal Logic (en inglés). Humanities-Ebooks LLP. ISBN 978-1-84760-041-7. 
  7. Susanne Bobzien (2002). The Development of Modus Ponens in Antiquity, Phronesis 47.
  8. Alfred Tarski 1946:47. Also Enderton 2001:110ff.
  9. Tarski 1946:47
  10. Enderton 2001:111
  11. Whitehead y Russell 1927:9

Bibliografía[editar]

  • Alfred Tarski 1946 Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences 2.ª edición, reprinted by Dover Publications, Mineola NY. ISBN 0-486-28462-X (pbk). (en inglés)
  • Alfred North Whitehead y Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica to *56 (Segunda edición) edición de bolsillo 1962, Cambridge at the University Press, Londres, Reino Unido. No ISBN, no LCCCN. (en inglés)
  • Herbert B. Enderton, 2001, A Mathematical Introduction to Logic Second Edition, Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3. (en inglés)

Enlaces externos[editar]