Condicional material

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El condicional material, también conocido como implicación material, condicional funcional de verdad o simplemente condicional, es una constante lógica que conecta dos proposiciones. El condicional material intenta ser la versión formal del condicional en el lenguaje natural, el cual se expresa por medio de palabras como las siguientes:

  • Si llueve, entonces voy al cine.
  • Voy al cine si llueve.
  • Cuando llueve, voy al cine.

Simbólicamente, el condicional material se suele denotar de las siguientes maneras:

A \to B \,
A \supset B, y en ocasiones:
A \Rightarrow B \,

Donde A y B son proposiciones cualesquiera. Las variables A y B se conocen respectivamente como el antecedente y el consecuente del condicional.

En lógica proposicional, el condicional material es una función de verdad binaria, que devuelve falso cuando A es verdadera y B es falsa, y devuelve verdadero en cualquier otro caso. En lógica de predicados, puede ser visto como una relación de subconjunto entre la extensión de predicados (posiblemente complejos).

Definición[editar]

El condicional material es una función de verdad que toma dos valores de verdad (por lo general los valores de proposiciones) y devuelve falso cuando el primer valor es verdadero y el segundo falso, y verdadero en cualquier otro caso.

En otras palabras, la tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

\begin{array}{|c|c|c|}
      \hline
      A & B & A \Rightarrow B \\
      \hline
      v & v & v \\
      v & f & f \\
      f & v & v \\
      f & f & v \\
      \hline
   \end{array}

Como se ve, el condicional material devuelve 0 (falso) sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En todos los demás casos, devuelve 1 (verdadero).

Propiedades formales[editar]

Algunas de las propiedades formales del condicional material son:

  • Preservación de la verdad: La interpretación en virtud del cual todas las variables se les asigna un valor de verdad de «verdadero» produce un valor de verdad de «verdadero» como resultado de la implicación material.

Diferencia entre el condicional material y la implicación lógica[editar]

Diagrama de Venn del condicional material.
Diagrama de Venn de la implicación lógica.

El condicional material no debe confundirse con la relación de implicación lógica. Sin embargo, existe una estrecha relación entre ambos en la mayoría de los sistemas lógicos, incluyendo la lógica clásica. Por ejemplo, los siguientes principios se sostienen:

  • Si \Gamma \vdash A, entonces \vdash \Gamma \to A, donde A es una fórmula cualquiera y \Gamma es un conjunto de fórmulas cualquiera. Este es un caso particular del teorema de la deducción.
  • Si \vdash \Gamma \to A, entonces \Gamma \vdash A. Esto es un caso particular del inverso del teorema de la deducción.
  • Tanto el condicional material como la consecuencia lógica son monótonas. Es decir, si \Gamma \vdash A, entonces \Delta \cup \Gamma \vdash A y si A \to B \,, entonces (A \land C) \to B.

Estos principios, sin embargo, no valen en todos los sistemas lógicos. Por ejemplo, no se sostienen en las lógicas no monotónicas.

La diferencia entre el condicional material y la implicación lógica es análoga la diferencia entre la operación A^c \cup B y la operación A \subseteq B en la teoría de conjuntos.

Ejemplo[editar]

En el camino de A \subseteq B a A \cap B^c = \emptyset la diferencia entre la implicación lógica \Rightarrow y material \rightarrow se puede ver en un cálculo fácil:

A \subseteq B
\Leftrightarrow (x \in A \Rightarrow x \in B)
\Leftrightarrow \forall{x} (x \in A \rightarrow x \in B)
\Leftrightarrow \forall{x} (x \notin A \or x \in B)
\Leftrightarrow \neg \exists{x} (x \in A \and x \notin B)
\Leftrightarrow \neg \exists{x} (x \in A \cap B^c)
\Leftrightarrow (A \cap B^c = \emptyset)

El condicional material puede ser definido por medio de la disyunción y la negación. La relación \Rightarrow por \rightarrow y el cuantificador universal \forall

Problemas filosóficos en torno al condicional material[editar]

Fuera de las matemáticas, es una cuestión de una cierta controversia en cuanto a si la función de verdad de la implicación material brinda un tratamiento adecuado de las sentencias condicionales en español (una sentencia en modo indicativo con una cláusula condicional adjunta, es decir, un condicional indicativo, o sentencias falsa a hechos en el modo subjuntivo, es decir, un condicional contrafactual).[1] es decir, los críticos argumentan que en algunos casos no matemáticos, el valor de verdad de una sentencia compuesta, "si p entonces q", no está determinado de manera adecuada por los valores de verdad de p y q.[1] Entre los ejemplos de declaraciones no veritativas-funcionales se incluyen:. "q porque p", "p antes de q" y "es posible que p".[1] "[De] las dieciséis posibles funciones de verdad de A y B, la implicación material es la única candidata seria. En primer lugar, es indiscutible que cuando A es verdadero y B es falso, "Si A, B" es falso. Una regla básica de inferencia es el modus ponendo ponens: a partir de "Si A, B" y A, podemos inferir B. Si fuera posible tener un verdadero, B falso y "Si A, B" verdadera, esta inferencia sería inválida. En segundo lugar, es indiscutible que "Si A, B" a veces es cierto cuando A y B son, respectivamente, (verdadero, verdadero), o (falso, verdadero), o (falso, falso)... Las cuentas no verdaderas-funcionales de acuerdo en que "Si A, B" es falso cuando A es verdadero y B es falso; y ellos están de acuerdo en que el condicional es en ocasiones verdadero para las otras tres combinaciones de valores de verdad para los componentes; pero niegan que el condicional es siempre verdad en cada uno de estos tres casos. Algunos están de acuerdo con el verdad-funcionalismo que cuando A y B son ambos verdaderos, "Si A, B" debe ser verdad. Algunos no lo hacen, exigiendo una relación aún más entre los hechos que A y que B.”[1]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b c d Edgington, Dorothy (2008). «Conditionals». En Edward N. Zalta. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Winter 2008 edición). 

Bibliografía[editar]

Enlace externo[editar]