Condicional material

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El condicional material, conocido como condicional, condicional funcional de verdad, o imprecisamente como implicación material, es una conectiva lógica que conecta dos proposiciones. En lógica proposicional, el condicional material es una función de verdad binaria, que devuelve falso cuando B es falsa siendo A verdadera, y devuelve verdadero en cualquier otro caso. En lógica de predicados, puede ser visto como una relación de subconjuntos entre la extensión de predicados (posiblemente complejos).

En el lenguaje natural, el condicional se expresa por medio de palabras como las siguientes:

  • Si llueve, entonces voy al cine.
  • Voy al cine si llueve.
  • Cuando llueve, voy al cine.
  • Si A, entonces B.

El condicional material intenta ser la versión formal de estas expresiones del lenguaje natural, y en orden descendente de acuerdo a la frecuencia de uso, se denota formalmente como:[cita requerida]

(en notación polaca)

donde A y B son proposiciones cualesquiera. Las variables A y B se conocen respectivamente como el antecedente y el consecuente del condicional.

Es importante no confundir el concepto de condicional material con el de implicación lógica. La confusión es exacerbada porque los símbolos y son imprecisamente usados como expresiones equivalentes por muchos, cuando realmente no lo son. Aunque en conversaciones del día a día la diferencia no tiene mayor impacto, la diferencia sutil entre ambos conceptos es significativa en el entendimiento correcto de la lógica proposicional.

Definición[editar]

El condicional material es una función de verdad que puede tomar dos valores de verdad (por lo general los valores de proposiciones):

  • devuelve falso cuando el primer valor es verdadero y el segundo falso,
  • y devuelve verdadero en cualquier otro caso.

En otras palabras, la tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Como se ve, el condicional material devuelve 0 (falso) sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En todos los demás casos, devuelve 1 (verdadero).

Propiedades formales[editar]

Algunas de las propiedades formales del condicional material son:

  • Distributividad:
  • Transitividad:
  • Idempotencia: es siempre verdadero.
  • Preservación de la verdad: La interpretación en virtud del cual todas las variables se les asigna un valor de verdad de «verdadero» produce un valor de verdad de «verdadero» como resultado del condicional material.

En lógica clásica es equivalente a , y por las leyes de De Morgan equivalente a .[1] Sin embargo, en lógica minimal (y por tanto también en lógica intuicionista) sólo implica ; y en lógica intuicionista (pero no en lógica minimal) implica .

Correlación con la teoría de conjuntos[editar]

Diagrama de Venn del condicional material.

En teoría de conjuntos, la noción equivalente del condicional material es:

es decir, es la unión del complementario de A y del conjunto B, o equivalentemente, el complementario de A menos B.

Diferencia entre condicional material e implicación lógica[editar]

El condicional material no debe confundirse con la relación de implicación lógica. La diferencia es sutil pero muy importante en la lógica proposicional.

  • El condicional material es una afirmación hipotética que no habla del mundo; es decir, no es posible saber el valor de verdad de A o B simplemente con observar la expresión «Si A, entonces B», sin ninguna información adicional. El condicional establece una relación entre A y B, pero no aclara su valor de verdad.
  • Por otra parte, la implicación lógica «A, por lo tanto B» es una afirmación no hipotética sino con contenido de verdad, que habla del mundo; es decir, establece claramente que A es verdadero, y que por la tanto B es verdadero. Es posible establecer el valor de A, y de B, sin ninguna entrada adicional.

La diferencia entre ambos depende también del campo en el que esté trabajando. En lógica matemática, la diferencia fundamental entre ambos es que el condicional material es una función de verdad que puede ser tanto verdadera como falsa, mientras que la implicación es siempre verdadera —es por tanto una tautología—, es decir, existe una imposibilidad lógica de que la afirmación «Si A, entonces B» sea falsa. Por esta razón, la forma precisa de expresar la implicación es «A implica B» o «A es condición suficiente de B». Esto es análogo a la afirmación «B es condición necesaria de A».[nota 1]

Propiedades comunes[editar]

Existe, no obstante, una estrecha relación entre ambos en la mayoría de los sistemas lógicos, incluyendo la lógica clásica. Por ejemplo, los siguientes principios se sostienen:

  • Si , entonces , donde A es una fórmula cualquiera y es un conjunto de fórmulas cualquiera. Este es un caso particular del teorema de la deducción.
  • Si , entonces . Esto es un caso particular del inverso del teorema de la deducción.
  • Tanto el condicional material como la consecuencia lógica son monótonas. Es decir, si , entonces y si , entonces .

En estos ejemplos se ha utilizado el símbolo trinquete (⊢) como sustituto de o . Estos principios, sin embargo, no valen en todos los sistemas lógicos. Por ejemplo, no se sostienen en las lógicas no monotónicas.

Problemas filosóficos en torno al condicional material[editar]

Fuera de las matemáticas, es una cuestión de una cierta controversia en cuanto a si la función de verdad de la implicación material brinda un tratamiento adecuado de las sentencias condicionales en español (una sentencia en modo indicativo con una cláusula condicional adjunta, es decir, un condicional indicativo, o sentencias falsa a hechos en el modo subjuntivo, es decir, un condicional contrafactual).[2] es decir, los críticos argumentan que en algunos casos no matemáticos, el valor de verdad de una sentencia compuesta, "si p entonces q", no está determinado de manera adecuada por los valores de verdad de p y q.[2] Entre los ejemplos de declaraciones no veritativas-funcionales se incluyen:. "q porque p", "p antes de q" y "es posible que p".[2] "[De] las dieciséis posibles funciones de verdad de A y B, la implicación material es la única candidata seria. En primer lugar, es indiscutible que cuando A es verdadero y B es falso, "Si A, B" es falso. Una regla básica de inferencia es el modus ponendo ponens: a partir de "Si A, B" y A, podemos inferir B. Si fuera posible tener un verdadero, B falso y "Si A, B" verdadera, esta inferencia sería inválida. En segundo lugar, es indiscutible que "Si A, B" a veces es cierto cuando A y B son, respectivamente, (verdadero, verdadero), o (falso, verdadero), o (falso, falso)... Las cuentas no verdaderas-funcionales de acuerdo en que "Si A, B" es falso cuando A es verdadero y B es falso; y ellos están de acuerdo en que el condicional es en ocasiones verdadero para las otras tres combinaciones de valores de verdad para los componentes; pero niegan que el condicional es siempre verdad en cada uno de estos tres casos. Algunos están de acuerdo con el verdad-funcionalismo que cuando A y B son ambos verdaderos, "Si A, B" debe ser verdad. Algunos no lo hacen, exigiendo una relación aún más entre los hechos que A y que B.”[2]

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Si p, q son proposiciones arbitrarias tales que es una tautología, entonces decimos que p implica lógicamente q y escribimos para denotar esa situación.(Grimaldi, 1998, p. 78)

Referencias[editar]

  1. Teller, Paul (10 de enero de 1989). «A Modern Formal Logic Primer: Sentence Logic Volume 1». Prentice Hall. p. 54. Consultado el 3 de octibre de 2016. 
  2. a b c d Edgington, Dorothy (2008). «Conditionals». En Edward N. Zalta. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Winter 2008 edición). 

Bibliografía[editar]

  • Brown, Frank Markham (2003). Razonamiento booleanos: La lógica de las ecuaciones booleanas (2ª edición). Nueva York: Dover Publications. 
  • Edgington, Dorothy (2001). «Condicionales». En Lou Goble. The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell. 
  • Grimaldi, Ralph P. (1998). Matemáticas discreta y combinatoria: introducción y aplicaciones. Pearson Educación. ISBN 9789684443242. 
  • Edgington, Dorothy. «Conditionals». En Edward N. Zalta. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Winter 2008 Edition). 
  • Quine, Willard van Orman (1982). Métodos de la lógica (4ª edición). Cambridge: Harvard University Press. 
  • Stalnaker, Robert (1975). «Condicionales indicativos». Philosophia 5: 269-286. 

Enlace externo[editar]