Conectiva lógica

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En lógica, una conectiva lógica, o simplemente conectiva, es un símbolo que se utiliza para conectar dos fórmulas bien formadas (atómicas o moleculares), de modo que el valor de verdad de la fórmula compuesta depende del valor de verdad de las fórmulas componentes.

En programación se utilizan para combinar valores de verdad y obtener nuevos valores que determinen el flujo de control de un algoritmo o programa.

Las conectivas lógicas son, junto con los cuantificadores, las principales constantes lógicas de muchos sistemas lógicos, principalmente la lógica proposicional y la lógica de predicados.

Conectivas[editar]

Las conectivas son funciones de verdad. Quiere decir que son funciones que toman uno o dos valores de verdad, y devuelven un único valor de verdad. En consecuencia, cada conectiva lógica puede ser definida mediante una tabla de valores de verdad que indique qué valor devuelve la conectiva para cada combinación de valores de verdad. A continuación hay una tabla con las conectivas más usuales y su definición mediante tablas de verdad:

Conectiva Notación Ejemplo
de uso
Análogo
natural
Ejemplo de uso en
el lenguaje natural
Tabla de verdad
Negación \neg,\sim \, \neg p \, no No está lloviendo. \begin{array}{c|c}
      \phi & \neg \phi \\
      \hline
      1 & 0 \\
      0 & 1 \\
   \end{array}
Conjunción \and,\And, \cdot \, p \and q \, y Está lloviendo y la calle está mojada. \begin{array}{c|c|c}
      \phi & \psi & \phi \and \psi \\
      \hline
      1 & 1 & 1 \\
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      0 & 0 & 0 \\
   \end{array}
Disyunción \or \, p \or q \, o Está lloviendo o la calle está mojada. \begin{array}{c|c|c}
      \phi & \psi & \phi \or \psi \\
      \hline
      1 & 1 & 1 \\
      1 & 0 & 1 \\
      0 & 1 & 1 \\
      0 & 0 & 0 \\
   \end{array}
Condicional material \to,\supset p \to q \, si... entonces Si está lloviendo, entonces la calle está mojada. \begin{array}{c|c|c}
      \phi & \psi & \phi \to \psi \\
      \hline
      1 & 1 & 1 \\
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 1 \\
      0 & 0 & 1 \\
   \end{array}
Bicondicional \leftrightarrow, \equiv \, p \leftrightarrow q \, si y sólo si Está lloviendo si y sólo si la calle está mojada. \begin{array}{c|c|c}
      \phi & \psi & \phi \leftrightarrow \psi \\
      \hline
      1 & 1 & 1 \\
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
   \end{array}
Negación
conjunta
\downarrow \, p \downarrow q \, ni... ni Ni está lloviendo ni la calle está mojada. \begin{array}{c|c|c}
      \phi & \psi & \phi \downarrow \psi \\
      \hline
      1 & 1 & 0 \\
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
   \end{array}
Disyunción
excluyente
\nleftrightarrow, \oplus, \not\equiv, W , \underline{\vee} p \nleftrightarrow q \, o bien... o bien O bien está lloviendo, o bien la calle está mojada. \begin{array}{c|c|c}
      \phi & \psi & \phi \nleftrightarrow \psi \\
      \hline
      1 & 1 & 0 \\
      1 & 0 & 1 \\
      0 & 1 & 1 \\
      0 & 0 & 0 \\
   \end{array}

Las conectivas por la tabla de verdad[editar]

Dado que las conectivas son funciones de verdad, existirán tantas conectivas como funciones de verdad. Sin embargo, no todas las funciones de verdad tienen análogos en el lenguaje natural, y en consecuencia, no todas son estudiadas con el mismo interés. A continuación se incluye una tabla que lista las 16 conectivas binarias posibles.


   \begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
      \hline
        & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
      \hline
      \phi & \psi & \top & \or & \leftarrow & \phi & \to & \psi & \leftrightarrow & \and & \uparrow & \nleftrightarrow & \neg \psi & \nrightarrow & \neg \phi & \nleftarrow & \downarrow & \bot \\
      \hline
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
      1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
      \hline
   \end{array}

Donde:

1. \top Tautología
2. \phi\or\psi Disyunción lógica
3. \phi\leftarrow\psi Condicional material inverso
4. \phi Proposición
5. \phi\to\psi Condicional material
6. \psi Proposición
7. \phi\leftrightarrow\psi Bicondicional
8. \phi\and\psi Conjunción lógica
9. \phi\uparrow\psi Negación alternativa
10. \phi\nleftrightarrow\psi Disyunción exclusiva
11. \neg\psi Negación lógica
12. \phi\nrightarrow\psi Negación del condicional material
13. \neg\phi Negación lógica
14. \phi\nleftarrow\psi Negación del condicional inverso
15. \phi\downarrow\psi Negación conjunta
16. \bot Contradicción

Conectivas por el número de argumentos[editar]

Si vemos las distintas conectivas por su número de argumentos podemos distinguir:

Sin argumentos[editar]

Las conectivas lógicas sin argumentos son:

Positiva Negativa
\top Tautología \bot Contradicción

Con un argumento[editar]

Las conectivas con solo un argumento son:

Positiva Negativa
\phi Proposición \neg\phi Negación lógica

Con dos argumentos[editar]

Las conectivas que necesitan dos argumentos son:

Positiva Negativa
\phi\or\psi Disyunción lógica \phi\downarrow\psi Negación conjunta
\phi\and\psi Conjunción lógica \phi\uparrow\psi Negación alternativa
\phi\Rightarrow\psi Condicional material \phi\nRightarrow\psi Negación del condicional material
\phi\Leftarrow\psi Condicional material inverso \phi\nLeftarrow\psi Negación del condicional inverso
\phi\Leftrightarrow\psi Bicondicional \phi\nLeftrightarrow\psi Disyunción exclusiva

Véase también[editar]