Disyunción exclusiva

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Desigualdad Material
Diagrama de Venn 09.svg
Diagrama de Venn de
Nomenclatura
Lenguaje formal A ó B pero no ambos,
ó exclusivo
Operador booleano
Operador de conjuntos -
Puerta Lógica
XOR ANSI.svg
Tabla de la Verdad


La disyunción exclusiva (también llamada "o" exclusivo, o desigualdad material en lógica proposicional) es un operador lógico simbolizado como XOR, EOR, EXOR, , o es un tipo de disyunción lógica de dos operandos.

Definición[editar]

Podemos definir la disyunción exclusiva: , a través de la función de verdad de sus conectivas lógicas:

Una disyunción exclusiva solamente es verdadera cuando ambas frases tienen valores diferentes y es falsa si las dos frases son ambas verdaderas o ambas falsas.

Una tabla de la verdad de la disyunción exclusiva es como ésta:

a b
verdadero verdadero falso
verdadero falso verdadero
falso verdadero verdadero
falso falso falso

Demarcación y equivalencias[editar]

La diferencia entre la disyunción exclusiva y la disyunción inclusiva es que en la disyunción inclusiva hay "información adicional",[1] que "del inicio es claro que uno de las dos alternativas debe ser verdadera",[2] es decir que no sólo al menos que una situación, sino que más de una de las dos situaciones existen. [1]

Las equivalencias de la disyunción exclusiva incluye:

  • Negación de la bicondicional [3]
  • .

Significado y aplicaciones prácticas[editar]

La importancia de la disyunción exclusiva en la lógica moderna es bajo, "porque deja formular pocas relaciones."[4] Sin embargo, en la Álgebra de Boole la disyunción exclusiva es de gran importancia; la propiedad, que la doble aplicación de la disyunción exclusiva resulta en la identidad, es útil en la criptografía, donde deja de utilizar la misma función en el cifrado y el desciframiento, y también en el uso del sistema RAID.

Equivalencias, simplificación, e introducción[editar]

La disyunción exclusiva puede ser expresada en términos de conjunción lógica (), disyunción lógica (), y negación () de la siguiente manera:

La disyunción exclusiva puede ser expresada de la siguiente manera:

Esta representación del XOR puede resultar útil en la construcción de un circuito o una red, ya que sólo tiene un operador y un número reducido de operadores y . La prueba de esta identidad es la siguiente:

A veces es útil escribir de las siguientes formas:

Esta equivalencia se puede establecer mediante la aplicación de las Leyes de De Morgan dos veces para la cuarta línea de la prueba anterior.

Propiedades de la disyunción exclusiva[editar]

La disyunción exclusiva es asociativa y conmutativa. Además, es su propia inversa y distributiva con respecto a la conjunción lógica, mas no con respecto a la condicional:

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b Essler/Martínez: Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 51
  2. Schülerduden, Philosophie, 2. Aufl. (2002), Disjunktion
  3. Hilbert/Ackermann: Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 6; Reichenbach: Grundzüge der symbolischen Logik (1999), S. 33
  4. Essler/Martínez: Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 98 Fn. 33