Disyunción exclusiva

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Desigualdad Material  \nleftrightarrow
Venn0110.svg
Diagrama de Venn de \scriptstyle A \nleftrightarrow B
Venn 0110 1001.svg
Diagrama de Venn de \scriptstyle A \nleftrightarrow B \nleftrightarrow C
Nomenclatura
Lenguaje formal A ó B pero no ambos,
ó exclusivo
Operador booleano \oplus
Operador de conjuntos -
Puerta Lógica
XOR ANSI.svg
\scriptstyle A \nleftrightarrow B
Tabla de la Verdad

   \begin{array}{|c|c||c|}
      \hline
      a & b & a \nleftrightarrow  b \\
      \hline
      F & F & F \\
      V & F & V \\
      F & V & V \\
      V & V & F \\
      \hline
   \end{array}

El operador lógico Disyunción exclusiva también llamado o exclusivo, simbolizado como XOR, EOR, EXOR, o es un tipo de disyunción lógica de dos operandos.

Definición y Propiedades[editar]

Podemos definir la disyunción exclusiva a través de la función de verdad de sus conectivas lógicas: Una disyunción solamente es verdadera cuando ambas frases tienen valores diferentes de verdad; es decir, cuando o una u otra es verdadero, mas no si ambos son verdadero o falso. La frase latina de la disyunción exclusiva es "aut - aut".

Una tabla de la verdad de la disyunción exclusiva es como ésta:

A B A \dot\or B
verdadero verdadero falso
verdadero falso verdadero
falso verdadero verdadero
falso falso falso

La disyunción exclusiva es asociativa y conmutativa. Además, es su propia inversa y distributiva con respecto a la conjunción lógica, mas no con respecto a la condicional:  A \wedge (B \dot\or C) = (A \wedge B) \dot\or (A \wedge C)

Demarcación y equivalencias[editar]

La diferencia entre la disyunción exclusiva y la disyunción inclusiva es que en la disyunción inclusiva hay "información adicional"[1] , que "del inicio es claro que uno de las dos alternativas debe ser verdadera"[2] , es decir que no sólo al menos que una situación, sino que más de una de las dos situaciones existen. [1]

Las equivalencias de la disyunción exclusiva incluye:

Signífica y aplicaciones practicales[editar]

La importancia de la disyunción exclusiva en la lógica moderna es bajo, "porque deja formular pocas relaciones."[4] Sin embargo, en la Álgebra de Boole la disyunción exclusiva es de gran importancia; la propiedad, que la doble aplicación de la disyunción exclusiva resulta en la identidad, es útil en la criptografía, donde deja de utilizar la misma función en el cifrado y el desciframiento, y también en el uso del sistema RAID.

Equivalencias, simplificación, e introducción[editar]

La disyunción exclusiva p \oplus q puede ser expresada en términos de conjunción lógica (\wedge), disyunción lógica (\lor), y negación (\lnot) de la siguiente manera:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)
   \end{matrix}

La disyunción exclusiva p \oplus q puede ser expresada de la siguiente manera:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & \lnot (p \land q) \land (p \lor q)
   \end{matrix}

Esta representación del XOR puede resultar útil en la construcción de un circuito o una red, ya que sólo tiene un operador \lnot y un número reducido de operadores \wedge y \lor. La prueba de esta identidad es la siguiente:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
                 & = & ((p \land \lnot q) \lor \lnot p) & \and & ((p \land \lnot q) \lor q) \\
                 & = & ((p \lor \lnot p) \land (\lnot q \lor \lnot p)) & \land & ((p \lor q) \land (\lnot q \lor q)) \\
                 & = & (\lnot p \lor \lnot q) & \land & (p \lor q) \\
                 & = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q)
   \end{matrix}

A veces es útil escribir p \oplus q de las siguientes formas:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))
   \end{matrix}

Esta equivalencia se puede establecer mediante la aplicación de las Leyes de De Morgan dos veces para la cuarta línea de la prueba anterior.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b Essler/Martínez: Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 51
  2. Schülerduden, Philosophie, 2. Aufl. (2002), Disjunktion
  3. Hilbert/Ackermann: Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 6; Reichenbach: Grundzüge der symbolischen Logik (1999), S. 33
  4. Essler/Martínez: Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 98 Fn. 33