Ley de tricotomía

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En matemáticas, la ley de tricotomía dice que cada número real es positivo, negativo, o cero.[1] Generalmente hablando, la tricotomía es la propiedad de una teoría del orden en un conjunto que para cada e , se tiene una sola de las siguientes relaciones: , o .

En notación matemática, esto es

Asumiendo que el orden es irreflexivo y transitivo, esto puede ser simplificado a

En lógica clásica, este axioma de tricotomía se utiliza para comparaciones ordinarias entre números reales y, por lo tanto, también para comparaciones entre enteros y entre racionales. La ley generalmente no se utiliza en lógica intuicionista.

En los axiomas de Zermelo-Fraenkel y la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, la ley de tricotomía se utiliza entre los cardinales de conjuntos bien ordenados incluso sin el axioma de elección. Si se utiliza el axioma de elección, entonces la tricotomía se utiliza entre cardinales arbitrarios (porque en ese caso todos están bien ordenados).[2]

Más generalmente, una relación binaria en es 'tricotómica si para cada e en existe exactamente la relación , o . Si tal relación es también transitiva, es un orden total estricto; este es un caso especial de un preorden total débil. Por ejemplo, en el caso de un conjunto de tres elementos , la relación dada por , o es un orden total estricto, mientras que la relación dada por el cíclico , o es una relación tricotómica no transitiva.

En la definición de un dominio integral ordenado, o campo ordenado, la ley de tricotomía es usualmente tomada como más fundacionalo que la ley de orden total.

Una relación tricotómica no puede ser reflexiva, ya que debe ser falsa. Si una relación tricotómica es transitiva, la misma es trivialmente antisimétrica y también asimétrica, ya que no se pueden sostener juntos y .

Referencias[editar]

  1. Weisstein, Eric W. «Trichotomy Law». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 16 de mayo de 2017. 
  2. Bernays, Paul (1991). Axiomatic Set Theory (en inglés). Dover Publications. ISBN 0-486-66637-9. 

Véase también[editar]