Anillo booleano

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En álgebra abstracta, en particular en teoría de anillos, un anillo booleano es aquel anillo R en donde a^2=a para todo elemento de R.

Expresado de otra forma, es un anillo en el que todos los términos son idempotentes.

Conmmutatividad de los anillos booleanos[editar]

Los anillos booleanons necesariamente son anillos conmutativos.

Un error común para demostrar esta propiedad es establecer la igualdad abab = aabb y posteriormente "cancelar" a y b por ambos lados. Esto es incorrecto ya que a diferencia de un campo, los elementos de un anillo no tienen necesariamente inversos multiplicativos y por tanto no es posible hacer cancelaciones.

A continuación se presenta una prueba correcta de la conmutatividad.

Los anillos booleanos son conmutativos
Sean a y b dos elementos arbitrarios del anillo booleano R.

Primero observamos que necesariamente todo elemento es su propio inverso aditivo:

 (a+a) = (a+a)^2 = (a+a)(a+a) = a^2 + a^2 + a^2 + a^2 = a+a+a+a

de donde una cancelación muestra que 0=a+a y por tanto a=-a.

Dado que (a+b) = (a+b)^2, desarrollando el producto del lado derecho obtenemos:

a+b = a^2 + ab + ba + b^2 = a + ab + ba +b

de donde se obtiene que 0 = ab  + ba y por tanto  ab = -ba , de donde ya es inmediato que ab=ba, estableciéndose así la conmutatividad del anillo.

Equivalencia entre anillos booleanos y álgebras booleanas[editar]

Todo anillo booleano (R,+,\cdot) con elemento unitario 1 satisface los axiomas de un álgebra booleana (R,\wedge,\vee,\neg) si se define la disyunción como:

 a\vee b := a+b+ab,

la conjunción como:

 a \wedge b :=ab

y la negación como:

\neg a := a + 1.

De manera inversa, toda álgebra booleana se puede convertir en un anillo conmutativo definiendo las operaciones de suma y producto como:

p+q:=(p\wedge \neg q) \vee (\neg p \vee q)

pq := p\wedge q

Referencias[editar]

  • Steven Givant; Paul Halmos (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 9780387684369. 

Véase también[editar]