Anillo booleano

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En álgebra abstracta, en particular en teoría de anillos, un anillo booleano es aquel anillo R en donde para todo elemento de R.

Expresado de otra forma, es un anillo en el que todos los términos son idempotentes.

Conmmutatividad de los anillos booleanos[editar]

Los anillos booleanons necesariamente son anillos conmutativos.

Un error común para demostrar esta propiedad es establecer la igualdad abab = aabb y posteriormente "cancelar" a y b por ambos lados. Esto es incorrecto ya que a diferencia de un campo, los elementos de un anillo no tienen necesariamente inversos multiplicativos y por tanto no es posible hacer cancelaciones.

A continuación se presenta una prueba correcta de la conmutatividad.

Los anillos booleanos son conmutativos
Sean a y b dos elementos arbitrarios del anillo booleano R.

Primero observamos que necesariamente todo elemento es su propio inverso aditivo:

de donde una cancelación muestra que y por tanto .

Dado que , desarrollando el producto del lado derecho obtenemos:

de donde se obtiene que y por tanto , de donde ya es inmediato que , estableciéndose así la conmutatividad del anillo.

Equivalencia entre anillos booleanos y álgebras booleanas[editar]

Todo anillo booleano con elemento unitario 1 satisface los axiomas de un álgebra booleana si se define la disyunción como:

,

la conjunción como:

y la negación como:

.

De manera inversa, toda álgebra booleana se puede convertir en un anillo conmutativo definiendo las operaciones de suma y producto como:

Referencias[editar]

  • Steven Givant; Paul Halmos (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 9780387684369. 

Véase también[editar]