Número de Lucas

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Los números de Lucas son los números pertenecientes a la sucesión de enteros, llamados así por el matemático François Édouard Anatole Lucas (1842-1891), que estudió tanto que la secuencia y los números de Fibonacci estrechamente relacionados con los Lucas. No deben ser confundidos con la Sucesión de Lucas, que es la sucesión a la cual pertenecen los números de Lucas.

Definición[editar]

De manera similar a los números de Fibonacci, cada número de Lucas se define como la suma de sus dos inmediatos anteriores, formando así una secuencia de enteros de Fibonacci. Los dos primeros números Lucas son L0 = 2 y L1 = 1 en contraposición a los dos primeros números de Fibonacci que son F0 = 0 y F1 = 1. Aunque estrechamente relacionado en la definición, los números de Lucas y de Fibonacci presentan propiedades distintas.

Los números de Lucas pueden así ser definidos como sigue:

La secuencia de números Lucas es:

(sucesión A000032 en OEIS).

Todas las secuencias de números enteros Fibonacci aparecen en forma desplazada como una fila de la matriz Wythoff; la secuencia de Fibonacci en sí es la primera fila y la secuencia de Lucas es la segunda fila. También, al igual que todas las secuencias de números enteros Fibonacci, la relación entre dos números Lucas consecutivos converge a la proporción áurea.

Extensión para enteros negativos[editar]

Usando Ln−2 = Ln − Ln−1, Se puede extender la sucesión de números de Lucas para obtener una secuencia doblemente infinita.

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... (terms for are shown).

La fórmula para los términos con los índices negativos en esta secuencia es:

Relación con los números Fibonacci[editar]

Los números de Lucas están relacionados con los Fibonacci por las siguientes identidades:

  • , y a medida que tiende a +∞, el cociente tiende a

Su fórmula cerrada está dada por:

Donde es la proporción áurea. Alternativamente, como para la magnitud del término es menor que 1/2, el número entero más cercano a o, equivalentemente, la parte entera de , también escrito como .

Cómo la fórmula de Binet da

Tenemos

Relaciones de congruencia[editar]

Si Fn ≥ 5 es un número de Fibonacci, entonces ningún número de Lucas es divisible para Fn.

Ln es congruente para 1 mod n si n es prime, sin embargo, algunos valores compuestos de n también guardan esta propiedad.

Lucas primos[editar]

Un Lucas primo un número de Lucas que es primo. Los primeros Lucas primos son:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ... (sucesión A005479 en OEIS).

Polinomios de Lucas[editar]

Al igual que los polinomios de Fibonacci se derivan de los números Fibonacci, los polinomios de Lucas Ln(x) son una sucesión de polinomios derivada de los números de Lucas.

Curiosidades[editar]

  • Al elevar el número áureo Φ2, Φ3, Φ4 se obtiene que el resultado genera, al aproximar, los números de la secuencia de Lucas.
  • La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir
  • La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
  • La suma de los primeros números de Lucas es el número que se encuentra en la posición menos uno. Es decir
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad

Véase también[editar]

Secuencia Fibonacci

Enlaces externos[editar]