Conjunto contorno

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En matemática, un conjunto contorno generaliza y formaliza las nociones diarias de:

  • Todo lo superior a algo
  • Todo lo superior o equivalente a algo
  • Todo lo inferior a algo
  • Todo lo inferior o equivalente a algo

Definiciones[editar]

Formalmente, dada una relación matemática de pares de elementos de un conjunto  : y un elemento de :

El conjunto contorno superior de es el conjunto de todos los que están relacionados con :

El conjunto contorno inferior de es el conjunto de todos los tal que está relacionado con ellos:

El conjunto contorno superior estricto de es el conjunto de todos los que están relacionados con , sin contar el mismo :

El conjunto contorno inferior estricto de es el conjunto de todos los tal que está relacionado con ellos, sin contar aquellos que están relacionados de este modo con el mismo :

La expresión formal de las dos últimas definiciones puede simplificarse si definimos la siguiente relación

donde está relacionado con pero no está relacionado con , en cuyo caso el conjunto contorno superior estricto de es

y el conjunto contorno inferior estricto de es

Conjunto contorno de una función[editar]

En el caso de una función f considerada en términos de la relación , la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación implicada

Ejemplos[editar]

Aritmética[editar]

Dados un número real y la relación , entonces:

  • El conjunto contorno superior de es el conjunto de números que son mayores o iguales a ,
  • El conjunto contorno superior estricto de es el conjunto de números mayores que ,
  • El conjunto contorno inferior de es el conjunto de números menores o iguales a , y
  • El conjunto contorno inferior estricto de es el conjunto de números menores que .

Considerando la relación más general

Entonces

  • El conjunto contorno superior de es el conjunto de todos los tales que ,
  • El conjunto contorno superior estricto de es el conjunto de todos los tales que ,
  • El conjunto contorno inferior de es el conjunto de todos los tales que , y
  • El conjunto contorno inferior estricto de es el conjunto de todos los tales que .

Técnicamente hablando también es posible definir conjuntos contornos en términos de la relación

aunque tales definiciones tenderían a confundir la comprensión de ellos.

Para una función real f, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación

Note que los argumentos de f podrían ser vectores, y que la notación usada podría ser

Economía[editar]

En economía, el conjunto puede interpretarse como un conjunto de bienes y servicios o de posibles salidas, la relación como preferencias estrictas, y la relación como preferencias débiles. Así,

  • El conjunto contorno superior de es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas por lo menos tan deseadas como ,
  • El conjunto contorno superior estricto de es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas más deseadas que ,
  • El conjunto contorno inferior de es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas no más deseadas que , y
  • El conjunto contorno inferior estricto de es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas menos deseadas que .

Tales preferencias podrían representarse por una función utilidad u, en cuyo caso

  • El conjunto contorno superior de es el conjunto de todos los tales que ,
  • El conjunto contorno superior estricto de es el conjunto de todos los tales que ,
  • El conjunto contorno inferior de es el conjunto de todos los tales que , y
  • El conjunto contorno inferior estricto de es el conjunto de todos los tales que .

Complementariedad[editar]

Si es un ordenación total de , entonces el complemento del conjunto contorno superior es el conjunto contorno inferior estricto:

y el complemento del conjunto contorno superior estricto es el conjunto contorno inferior:

Véase también[editar]

Referencias[editar]