Deducción natural

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La deducción natural es una aproximación a la teoría de la demostración en la que se busca capturar la manera en que las personas razonan naturalmente al construir demostraciones matemáticas.[1] [2] En vez de contar con unos pocos axiomas a los que se aplican unas pocas reglas de inferencia, la deducción natural propone vaciar la lista de axiomas y ampliar la de reglas de inferencia, introduciendo dos reglas para cada constante lógica: una para introducirla y otra para eliminarla.[2] Una demostración se contruye partiendo de supuestos y aplicando las reglas para llegar a la conclusión deseada.

La deducción natural fue introducida por Gerhard Gentzen en su trabajo Investigaciones sobre la inferencia lógica (Untersuchungen über das logische Schliessen), publicado en 1934-1935.[2]

Reglas de inferencia[editar]

Conectivas[editar]

Conectiva Nombre de la regla Abreviación Formalización Cálculo de secuentes
\neg \, Introducción de la negación
(véase reducción al absurdo)
I \neg \, \begin{matrix}
       \phi \\
       \vdots \\
       \perp \\
       \hline
       \neg \phi
       \end{matrix}
Eliminación de la negación E \neg \, \frac{\neg \neg \phi} {\phi} \neg \neg \phi \vdash \phi
\and \, Introducción de la conjunción I \and \, \begin{matrix}
       \phi \\
       \psi \\
       \hline
       \phi \and \psi
       \end{matrix}
       \qquad
       \begin{matrix}
       \phi \\
       \psi \\
       \hline
       \psi \and \phi
       \end{matrix} \phi, \psi \vdash \phi \and \psi \qquad \phi, \psi \vdash \psi \and \phi
Eliminación de la conjunción E \and \, \frac{\phi \and \psi} {\phi} \qquad \frac{\phi \and \psi} {\psi} \phi \and \psi \vdash \phi \qquad \phi \and \psi \vdash \psi
\or \, Introducción de la disyunción I \or \, \frac{\phi} {\phi \or \psi} \qquad \frac{\phi} {\psi \or \phi} \phi \vdash \phi \or \psi \qquad \phi \vdash \psi \or \phi
Eliminación de la disyunción
(véase silogismo disyuntivo)
E \or \, \begin{matrix}
       \phi \or \psi \\
       \neg \phi \\
       \hline
       \psi
       \end{matrix}
       \qquad
       \begin{matrix}
       \phi \or \psi \\
       \neg \psi \\
       \hline
       \phi
       \end{matrix} \phi \or \psi, \neg \phi \vdash \psi \qquad \phi \or \psi, \neg \psi \vdash \phi
\to \, Introducción del condicional material
(véase teorema de la deducción)
I \to \, \begin{matrix}
       \phi \\
       \vdots \\
       \psi \\
       \hline
       \phi \to \psi
       \end{matrix}
Eliminación del condicional material
(véase modus ponens)
E \to \, \begin{matrix}
       \phi \to \psi \\
       \phi \\
       \hline
       \psi
       \end{matrix} \phi \to \psi, \phi \vdash \psi
\leftrightarrow \, Introducción del bicondicional I \leftrightarrow \, \begin{matrix}
       \phi \to \psi \\
       \psi \to \phi \\
       \hline
       \phi \leftrightarrow \psi
       \end{matrix}
       \qquad
       \begin{matrix}
       \phi \to \psi \\
       \psi \to \phi \\
       \hline
       \psi \leftrightarrow \phi
       \end{matrix} \phi \to \psi, \psi \to \phi \vdash \psi \leftrightarrow \phi
Eliminación del bicondicional E \leftrightarrow \, \frac{\phi \leftrightarrow \psi} {\phi \to \psi} \qquad \frac{\phi \leftrightarrow \psi} {\psi \to \phi} \phi \leftrightarrow \psi \vdash \phi \to \psi \qquad \phi \leftrightarrow \psi \vdash \psi \to \phi

Cuantificadores[editar]

Sea a una constante de individuo y t un término. Sea A(b/c) el resultado de reemplazar todas las apariciones de b en A por c. Luego:

Cuantificador Nombre de la regla Abreviación Formalización Cálculo de secuentes
\forall \, Introducción del cuantificador universal I \forall \, \frac{\phi} {\forall x \phi} \phi \vdash \forall x \phi
Eliminación del cuantificador universal E \forall \, \frac{\forall x \phi} {\phi(x/a)} \forall x \phi \vdash \phi(x/a)
\exists \, Introducción del cuantificador existencial I \exists \, \frac{\phi} {\exists x \phi(t/x)} \phi \vdash \exists x \phi(t/x)
Eliminación del cuantificador existencial E \exists \, \frac{\exists \phi} {\phi(x/a)} \exist \phi \vdash \phi(x/a)


Demostraciones[editar]

Ejemplo sencillo[editar]

A demostrar: \phi \to \phi \,
Paso Fórmula Razón
1 \phi \, Supuesto.
2 \phi \or \psi Desde (1) por introducción de la disyunción.
3 (\phi \or \psi) \and \phi Desde (1) y (2) por introducción de la conjunción.
4 \phi \, Desde (3) por eliminación de la conjunción.
5 \phi \vdash \phi Resumen de (1) hasta (4).
6 \vdash \phi \to \phi Desde (5) por introducción del condicional. Q.E.D.

Ejemplo más complejo[editar]

En esta sección se presenta una demostración de una de las leyes de De Morgan. La misma dice:

\neg (\phi \or \psi) \leftrightarrow (\neg \phi \and \neg \psi) \,

Dado que la conectiva principal es un bicondicional, la estrategia será demostrar que \neg (\phi \or \psi) \to (\neg \phi \and \neg \psi) \, y que (\neg \phi \and \neg \psi) \to \neg (\phi \or \psi) \,, para luego poder introducir el bicondicional (por medio de la regla de introducción del bicondicional). Para obtener cada una de estas subfórmulas, cuyas conectivas principales son condicionales materiales, se debe suponer el antecedente e intentar derivar el consecuente.

A demostrar: \neg (\phi \or \psi) \leftrightarrow (\neg \phi \and \neg \psi) \,
Paso Fórmula Razón
1 \neg (\phi \or \psi) \, Supuesto.
2 \phi \, Supuesto.
3 \phi \or \psi \, I \or \quad 2 \,
4 \perp \, I \and \quad 1,3 \,
5 \neg \phi \, I \neg \quad 2-4 \,
6 \psi \, Supuesto.
7 \phi \or \psi \, I \or \quad 6 \,
8 \perp \, I \and \quad 1,7 \,
9 \neg \psi \, I \neg \quad 6-8 \,
10 \neg \phi \and \neg \psi \, I \and \quad 5,9 \,
11 \neg (\phi \or \psi) \to (\neg \phi \and \neg \psi) \, I \to \quad 1-10 \,
12 \neg \phi \and \neg \psi \, Supuesto.
13 \neg \phi \, E \and \quad 12
14 \neg \psi \, E \and \quad 12
15 \phi \or \psi \, Supuesto.
16 \psi \, E \or \quad 13,15
17 \perp \, I \and \quad 14,16
18 \neg (\phi \or \psi) \, I \neg \quad 15-17
19 (\neg \phi \and \neg \psi) \to \neg (\phi \or \psi) \, I \to \quad 12-18
20 \neg (\phi \or \psi) \leftrightarrow (\neg \phi \and \neg \psi) \, I \leftrightarrow \quad 11,19

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. Portoraro, Frederic, «Automated Reasoning», en Edward N. Zalta (en inglés), Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2010 Edition), http://plato.stanford.edu/archives/spr2010/entries/reasoning-automated/ 
  2. a b c von Plato, Jan, «The Development of Proof Theory», en Edward N. Zalta (en inglés), Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2008 Edition), http://plato.stanford.edu/archives/fall2008/entries/proof-theory-development/