Deducción natural

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La deducción natural es una aproximación a la teoría de la demostración en la que se busca capturar la manera en que las personas razonan naturalmente al construir demostraciones matemáticas.[1] [2] En vez de contar con unos pocos axiomas a los que se aplican unas pocas reglas de inferencia, la deducción natural propone vaciar la lista de axiomas y ampliar la de reglas de inferencia, introduciendo dos reglas para cada constante lógica: una para introducirla y otra para eliminarla.[2] Una demostración se construye partiendo de supuestos y aplicando las reglas para llegar a la conclusión deseada.

La deducción natural fue introducida por Gerhard Gentzen en su trabajo Investigaciones sobre la inferencia lógica (Untersuchungen über das logische Schliessen), publicado en 1934-1935.[2]

Reglas de inferencia[editar]

Conectivas[editar]

Conectiva Nombre de la regla Abreviación Formalización Cálculo de secuentes
Introducción de la negación
(véase reducción al absurdo)
Eliminación de la negación
Introducción de la conjunción
Eliminación de la conjunción
Introducción de la disyunción
Eliminación de la disyunción
(véase silogismo disyuntivo)
Introducción del condicional material
(véase teorema de la deducción)
Eliminación del condicional material
(véase modus ponens)
Introducción del bicondicional
Eliminación del bicondicional

Cuantificadores[editar]

Sea a una constante de individuo y t un término. Sea A(b/c) el resultado de reemplazar todas las apariciones de b en A por c. Luego:

Cuantificador Nombre de la regla Abreviación Formalización Cálculo de secuentes
Introducción del cuantificador universal
Eliminación del cuantificador universal
Introducción del cuantificador existencial
Eliminación del cuantificador existencial


Demostraciones[editar]

Ejemplo sencillo[editar]

A demostrar:
Paso Fórmula Razón
1 Supuesto.
2 Desde (1) por introducción de la disyunción.
3 Desde (1) y (2) por introducción de la conjunción.
4 Desde (3) por eliminación de la conjunción.
5 Resumen de (1) hasta (4).
6 Desde (5) por introducción del condicional. Q.E.D.

Ejemplo más complejo[editar]

En esta sección se presenta una demostración de una de las leyes de De Morgan. La misma dice:

Dado que la conectiva principal es un bicondicional, la estrategia será demostrar que y que , para luego poder introducir el bicondicional (por medio de la regla de introducción del bicondicional). Para obtener cada una de estas subfórmulas, cuyas conectivas principales son condicionales materiales, se debe suponer el antecedente e intentar derivar el consecuente.

A demostrar:
Paso Fórmula Razón
1 Supuesto.
2 Supuesto.
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6 Supuesto.
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12 Supuesto.
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15 Supuesto.
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Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. Portoraro, Frederic. «Automated Reasoning». En Edward N. Zalta. Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Spring 2010 Edition). 
  2. a b c von Plato, Jan. «The Development of Proof Theory». En Edward N. Zalta. Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Fall 2008 Edition).