Cuantificador universal

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En lógica, se usa el símbolo  \forall , denominado cuantificador universal[1] , antepuesto a una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada a continuación. En texto se puede representar con el carácter ∀.

Normalmente, en lógica, el conjunto al que se refiere es el universo o dominio de referencia, en el cual aparecen todas las constantes.

Ejemplo[editar]

Conjuntos 04.svg

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:


   A \subset B
   \; \land \;
   A \ne B
   \; \land \;
   A \ne \varnothing

Todo elemento x de A pertenece a B:


   \forall x \in A
   \; \Rightarrow \;
   x \in B

Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama, podemos decir que no todos los elementos y de B pertenecen a A, siendo esto una garantía suficiente para que dos conjuntos cualesquiera puedan ser diferentes:


   \lnot \forall y \in B : \; y \in A \,

Es decir: no para todo elemento y de B se cumple que y también pertenezca a A.

Relación cuantificador universal y el cuantificador existencial[editar]

Dada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial:


   \forall x \ P(x) \; \Leftrightarrow \; \lnot \exists x \ \lnot P(x) \,

que podriamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que no cumpla P(x).

Según el ejemplo anterior:


   \forall x \in A : \; x \in B \,

Para todo x que pertenece a A, se cumple que x pertenece a B. Que podemos expresar:


   \lnot \exists x \in A : \; x \notin B \,

No existe un x de A, que cumpla que x no este en B.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]