Identidad de Bézout

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

La identidad de Bézout o Lema de Bézout enuncia que si a y b son números enteros diferentes de cero con máximo común divisor d, entonces existen enteros x e y tales que:

.

La identidad fue nombrada en honor del matemático francés Étienne Bézout (1730-1783).

Algoritmo[editar]

Los números x e y de la identidad de Bézout pueden determinarse mediante el algoritmo extendido de Euclides, pero no se determinan de forma unívoca, ya que:

.

Para todo a, b, x, y y k. Así dando a k cualquier valor entero y definiendo:

,

se tiene que:

.

Ejemplo[editar]

Se puede ilustrar la no unicidad con un ejemplo:

.

El máximo común divisor de 12 y 42 es 6. Una solución de la expresión anterior es:

12·(-3) + 42·1 = 6

Pero hay otras tales como:

12·4 + 42·(-1) = 6
12·11 + 42·(-3) = 6
12·18 + 42·(-5) = 6
etc.

El conjunto de soluciones se puede expresar como:

x = −3 + 7·k
y = 1 − 2·k

para cualquier valor entero de k.

Generalizaciones[editar]

La identidad de Bézout no sólo funciona en el anillo de los enteros, sino que también es válido en cualquier otro dominio de ideales principales (DIP). Es decir, si es un DIP, y y son elementos de , y es el máximo común divisor de y entonces existen e elementos de tales que .

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]