Conjunto de soluciones (matemáticas)

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En matemáticas un conjunto de soluciones es el conjunto de valores que satisfacen una ecuación, una inecuación, un sistema de ecuaciones, o uno de inecuaciones. Es un subconjunto de los valores «permitidos» a las incógnitas.[1]

El conjunto de soluciones puede tener un solo elemento, varios (incluso infinitos, por ejemplo en una identidad) o ninguno (el conjunto vacío).

Definición[editar]

Dada una aplicación f : A \to B, la expresión f(x)=b determina una ecuación, en tanto consideremos a x como una indeterminada que pertenece al conjunto A.

El conjunto solución o conjunto de soluciones de una ecuación es la imagen inversa de b a través de f.

El conjunto solución está constituido por todos los a \in A determinados que cumplen la ecuación, es decir, aquellos para los cuales f(a)=b.

De modo análogo puede definirse el conjunto solución para las inecuaciones, pero sólo bajo ciertas condiciones. Si \mathcal{S} denota al conjunto de soluciones de la ecuación f(x)=b, la inecuación f(x)\ne b tiene como solución a \overline{\mathcal{S}}, es decir, el complemento de \mathcal{S}.

Para otros tipos de desigualdades, como las relaciones < o >, se requiere que A y B sean conjuntos parcialmente ordenados con una relación de orden equivalente. Así, si \mathcal{R} representa una relación de este tipo, la solución de f(x)\mathcal{R}b está constituida por los elementos de A que cumplen esa relación.

Ejemplos[editar]

  • Para x \in \mathbb R, x+4=7 tiene por conjunto de soluciones \mathcal{S}=\{3\} (tiene una solución).
  • Para x \in \mathbb R, x^2=-1 tiene por conjunto de soluciones \mathcal{S}= \varnothing (no tiene soluciones).
  • Para x \in \mathbb C, x^2=-1 tiene por conjunto de soluciones \mathcal{S}= \{-i, i\} (tiene dos soluciones).
  • Para x \in \mathbb R, x^2 \le 9 tiene por conjunto de soluciones \mathcal{S}= [-3, 3] (un intervalo).
  • Para (x,y) \in \mathbb R^2, la ecuación en dos variables \textstyle \frac{1-3y}{x-2y}=\frac{2x}{2y-x}+1 tiene como conjunto de soluciones \mathcal{S}=\{(t,t+1) : t \ne -2 \land t \in \mathbb{R}\}, que geométricamente puede representarse como una recta en el plano euclídeo,[2] con un «agujero» en el punto (-2,-1). Este problema aparece porque 2y-x = 0 es una expresión que conduce a una división por cero en la ecuación.
  • Para f una función real que cumple f(1)=4, la ecuación diferencial ordinaria 3 f(x) - x f'(x) = 0 tiene como conjunto de soluciones \mathcal{S}=\left\{4x^3\right\}.

Referencias[editar]

  1. Aponte, Gladys (1 de enero de 1998). Fundamentos de matemáticas básicas (1ª edición). México: Pearson Educación. p. 128. ISBN 9789684442818. 
  2. Claudia Neuhauser (2004). Matemáticas para ciencias (2ª edición). Pearson educación. p. 597. ISBN 9788420542539.