Conjunto de soluciones (matemáticas)

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En matemáticas un conjunto de soluciones es el conjunto de valores que satisfacen una ecuación, una inecuación, un sistema de ecuaciones, o uno de inecuaciones. Es un subconjunto de los valores «permitidos» a las incógnitas.[1]

En términos lógicos, el conjunto solución es aquel cuyos elementos hacen que una proposición abierta sea verdadera.[2] Como las ecuaciones son proposiciones cuyo valor de verdad depende de las incógnitas que en ella aparecen, la definición de conjunto solución aplicada a estas puede ser considerada entonces como un caso particular.

El conjunto de soluciones puede tener un solo elemento, varios (incluso infinitos, por ejemplo en una identidad) o ninguno (el conjunto vacío).

Definición[editar]

Dada una aplicación f : A → B, la expresión f(x) = b determina una ecuación, en tanto consideremos a x como una indeterminada que pertenece al conjunto A.

El conjunto solución o conjunto de soluciones de una ecuación es la imagen inversa de b a través de f.

El conjunto solución está constituido por todos los a ∈ A determinados que satisfacen la ecuación, es decir, aquellos para los cuales se cumple f(a) = b. Hay una sutil diferencia conceptual entre las notaciones

En la primera, x es un valor desconocido, del cual se sabe que está en A. La segunda involucra, si existe, un elemento conocido a de A que puede «reemplazarse» en la primer igualdad y transformarla en una identidad numérica.[3]

De modo análogo puede definirse el conjunto solución para las inecuaciones.

Si denota al conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = b, la inecuación f(x) ≠ b tiene como solución el conjunto , es decir, el complemento de . Este contiene todos los elementos de A que no están en .

Para otros tipos de desigualdades, como las relaciones < o >, se requiere que A y B sean conjuntos parcialmente ordenados con una relación de orden equivalente. Así, si representa una relación de este tipo, la solución de está constituida por los elementos de A que cumplen esa relación.

Ejemplos[editar]

  • Para , tiene por conjunto de soluciones (tiene una solución).
  • Para , tiene por conjunto de soluciones (no tiene soluciones).
  • Para , tiene por conjunto de soluciones (tiene dos soluciones).
  • Para , tiene por conjunto de soluciones (infinitas soluciones).
  • Para , tiene por conjunto de soluciones (un intervalo).
  • Para , la ecuación en dos variables tiene como conjunto de soluciones , que geométricamente puede representarse como una recta en el plano euclídeo,[4] con un «agujero» en el punto . Este problema aparece porque es una expresión que conduce a una división por cero en la ecuación.
  • Para f una función real que cumple , la ecuación diferencial ordinaria tiene como conjunto de soluciones .

Referencias[editar]

  1. Aponte, Gladys (1 de enero de 1998). Fundamentos de matemáticas básicas (1ª edición). México: Pearson Educación. p. 128. ISBN 9789684442818. 
  2. Peters, Max; Schaaf, William (Julio de 2007). Álgebra y trigonometría. Barcelona, España: Reverte. p. 3. ISBN 9788429151060. 
  3. Selzer, Samuel (1970). Álgebra y geometría analítica (2ª edición). Buenos Aires, Argentina: Nigar. p. 283. 
  4. Claudia Neuhauser (2004). Matemáticas para ciencias (2ª edición). Pearson educación. p. 597. ISBN 9788420542539.