Número altamente compuesto

Un número altamente compuesto (o anti-primo) es un entero positivo con más divisores que cualquier entero positivo más pequeño. El término fue acuñado por Ramanujan (1915). Aun así, Jean-Pierre Kahane ha sugerido que el concepto se remonta a Platón, quien puso en 5040 el número ideal de ciudadanos en una ciudad porque 5040 tiene más divisores que otros números más pequeños.^[1]

El concepto relacionado de número compuesto en gran parte se refiere a un entero positivo que tiene al menos tantos divisores como cualquier entero positivo más pequeño.

Ejemplos[editar]

Los primeros 38 números altamente compuestos están listados en la tabla de abajo (sucesión A002182 en OEIS).

Orden	NAC n	Factorización en primos	Exponentes primos	Factores primos	d(n)	Factorización primorial
1	1	0	1
2*	2	$2$	1	1	2	$2$
3	4	$2^{2}$	2	2	3	$2^{2}$
4*	6	$2\cdot 3$	1,1	2	4	$6$
5*	12	$2^{2}\cdot 3$	2,1	3	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^{3}\cdot 3$	3,1	4	8	$2^{2}\cdot 6$
7	36	$2^{2}\cdot 3^{2}$	2,2	4	9	$6^{2}$
8	48	$2^{4}\cdot 3$	4,1	5	10	$2^{3}\cdot 6$
9*	60	$2^{2}\cdot 3\cdot 5$	2,1,1	4	12	$2\cdot 30$
10*	120	$2^{3}\cdot 3\cdot 5$	3,1,1	5	16	$2^{2}\cdot 30$
11	180	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5$	2,2,1	5	18	$6\cdot 30$
12	240	$2^{4}\cdot 3\cdot 5$	4,1,1	6	20	$2^{3}\cdot 30$
13*	360	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$	3,2,1	6	24	$2\cdot 6\cdot 30$
14	720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5$	4,2,1	7	30	$2^{2}\cdot 6\cdot 30$
15	840	$2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	3,1,1,1	6	32	$2^{2}\cdot 210$
16	1260	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	2,2,1,1	6	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	4,1,1,1	7	40	$2^{3}\cdot 210$
18*	2520	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	3,2,1,1	7	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19*	5040	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	4,2,1,1	8	60	$2^{2}\cdot 6\cdot 210$
20	7560	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	3,3,1,1	8	64	$6^{2}\cdot 210$
21	10080	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	5,2,1,1	9	72	$2^{3}\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	4,3,1,1	9	80	$2\cdot 6^{2}\cdot 210$
23	20160	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	6,2,1,1	10	84	$2^{4}\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	4,2,2,1	9	90	$2^{2}\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	3,2,1,1,1	8	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$	4,4,1,1	10	100	$6^{3}\cdot 210$
27	50400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	5,2,2,1	10	108	$2^{3}\cdot 30\cdot 210$
28*	55440	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,2,1,1,1	9	120	$2^{2}\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	3,3,1,1,1	9	128	$6^{2}\cdot 2310$
30	110880	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	5,2,1,1,1	10	144	$2^{3}\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,3,1,1,1	10	160	$2\cdot 6^{2}\cdot 2310$
32	221760	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	6,2,1,1,1	11	168	$2^{4}\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	4,2,2,1,1	10	180	$2^{2}\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	5,3,1,1,1	11	192	$2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
35	498960	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,4,1,1,1	11	200	$6^{3}\cdot 2310$
36	554400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	5,2,2,1,1	11	216	$2^{3}\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	6,3,1,1,1	12	224	$2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
38*	720720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	4,2,1,1,1,1	10	240	$2^{2}\cdot 6\cdot 30030$

La tabla de abajo muestra todos los divisores de uno de estos números.

El número altamente compuesto: 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 × 7
1×10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7× 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15× 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28× 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42× 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70× 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
Nota: los números en negrita son a su vez altamente compuestos. Sólo el vigésimo número altamente compuesto 7560 (= 3 × 2520) está ausente.10080 es también número 7-liso (sucesión A002473 en OEIS).

El número altamente compuesto 15,000 se encuentra en el sitio web de Achim Flammenkamp . Es el producto de 230 primos:

a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},

donde $a_{n}$ es la secuencia de números primos sucesivos, y todos los términos omitidos ( $a_{22}$ a $a_{228}$ ) son factores con exponente igual a 1 (es decir, el número es $2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451$ ).^[2]

Véase también[editar]

Tabla de divisores

Referencias[editar]

↑ Kahane, Jean-Pierre (February 2015), «Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'øeuvre», Bulletin of the American Mathematical Society 62 (2): 136-140 ..
↑ Flammenkamp, Achim, Highly Composite Numbers ..

Datos: Q629958

[1] Kahane, Jean-Pierre (February 2015), «Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'øeuvre», Bulletin of the American Mathematical Society 62 (2): 136-140 ..

[2] Flammenkamp, Achim, Highly Composite Numbers ..

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