Ecuación algebraica

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Las soluciones de una ecuación algebraica de una variable corresponden a los puntos de una curva, que «tocan o cortan» al eje horizontal.

Una ecuación algebraica es un polinomio P(x), con coeficientes reales o complejos, [1] igualado a cero.[2] [3] . Donde x denota un número desconocido que la satisface, esto es que reemplazado en P(x) da cero como resultado. Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz; el problema de resolver una ecuación significa hallar todas sus raíces. Cuando el grado del polinomio es n se dice que la ecuación correspondiente es de grado n. [4]

Por ejemplo, el polinomio con coeficientos enteros

P(x) = x^3 - 6x - 8

determina la ecuación P(x)=0, es decir, x^3 - 6x - 8 = 0. Las soluciones de esta ecuación determinan las raíces del polinomio, las cuales se interpretan geométricamente como sigue.

Si en el plano cartesiano se consideran los puntos del eje vertical como una función polinómica y = P(x), la gráfica de esta función es una curva. Las raíces del polinomio son los puntos de la curva que coinciden con el eje horizontal x.[3] [5]

Puede darse que el polinomio tenga más de una indeterminada. Tómese como ejemplo el siguiente polinomio

P(x,y) = x^2 + 3xy - 4y^2 + 1

que determina una ecuación algebraica de segundo grado y dos variables sobre el cuerpo de los números racionales. En este caso, las soluciones de P(x,y)=0 son pares ordenados que determinan un lugar geométrico en el plano, generalmente una curva algebraica.[6]

Definiciones[editar]

En matemáticas, un polinomio algebraico en un cuerpo es un polinomio con coeficientes en ese cuerpo.

Formalmente, si \mathbb{K} es un cuerpo y X=\{x_1,x_2,\dots,x_n\} un conjunto de indeterminadas, \mathbb{K}[X] es otro conjunto, que resulta de adjuntar los elementos de X al cuerpo. Este es un anillo de polinomios que contiene a los polinomios algebraicos. Sea P(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{K}[X] uno de estos polinomios.

La igualdad P(x_1,x_2,\dots,x_n) = 0 es una ecuación algebraica.

Como \left(\mathbb{K}[X], +, \cdot\right) es un anillo, todo elemento de \mathbb{K}[X] tiene un inverso aditivo. Esto quiere decir que, dados P_1(x_1,x_2,\dots,x_n), P_2(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{K}[X], siempre se puede construir un tercer polinomio

\begin{array}{rclcc}
 R(x_1,x_2,\dots,x_n) &=& P_1(x_1,x_2,\dots,x_n) &+& [ - P_2(x_1,x_2,\dots,x_n) ] \\
 R(x_1,x_2,\dots,x_n) &=& P_1(x_1,x_2,\dots,x_n) &-& P_2(x_1,x_2,\dots,x_n)
\end{array}

donde -P denota al elemento inverso de P con respecto a la operación +.[7] Por definición, igualar el polinomio R a cero equivale a plantear una ecuación algebraica. Este razonamiento da lugar al siguiente teorema.

La igualdad P_1(x_1,x_2,\dots,x_n) = P_2(x_1,x_2,\dots,x_n) es una ecuación algebraica.

En el caso más simple, el cuerpo es \mathbb{Q}, el conjunto de los números racionales. En este caso, los polinomios algebraicos son aquellos con coeficientes racionales. Por ejemplo:

P(x)=-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3

cumple P(x) \in \mathbb{Q}[x]. Dicho de otro modo, es un polinomio algebraico en los racionales, con x como indeterminada, y por lo tanto P(x) = 0 es una ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Ecuaciones de una variable[editar]

Consideraciones genéricas[editar]

Según los valores que asuma  n = 1, 2, 3, 4,...,etc. surgen las ecuaciones de la forma

a_0x+a_1=0
a_0x^2+a_1x+a_2=0
a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0
a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_$=0

de grado 1, 2, 3, 4, etc. o ecuaciones lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, etc. Se asume que el coeficiente principal a_0 es distinto de cero; aunque ninguna condición se establece para los demás coeficientes. [8]

Resolver ecuaciones algebraicas de una sola variable es relativamente sencillo para los grados 1 y 2.

Factorización[editar]

Si k es una raíz de la ecuación

P(x)=0

se deduce del teorema del resto que P(x)es divisible por (x-k) y se cumple

P(x)=(x-k)P_1(x)

donde P_1(x) es un polinomio de grado n-1.

Si k_1 es otra raíz distinta de k se obtiene

P(x)=(x-k)(x-k_1)P_2(x)

donde P_2(x) es un polinomio de grado n-2. Y así sucesivamente.

Primer grado[editar]

Una ecuación de primer grado siempre tiene solución sobre un cuerpo \scriptstyle \mathbb{K}. Es decir, la ecuación:

ax+b = 0

siempre admite la solución \textstyle x = -\frac{b}{a} que es un elemento de \scriptstyle \mathbb{K}.

Segundo grado[editar]

Una ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0

no siempre admite solución sobre \scriptstyle \mathbb{K}, aunque sí la admite sobre su clausura algebraica (si se trata de un cuerpo de característica nula). Existen a lo sumo dos soluciones, dadas por:

x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \qquad
x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Puede ser que alguna de las soluciones anteriores, definibles sobre la clausura algebraica no son números del cuerpo \scriptstyle \mathbb{K}. Por ejemplo la ecuación:

x^2 - 2 = 0

No admite solución sobre \scriptstyle \mathbb{Q} pero sí la admite sobre su clausural algebraica y también sobre \scriptstyle \R (ya que contiene a la clausura algebraica de \scriptstyle \mathbb{Q}).

Ecuaciones de mayor grado[editar]

Para ecuaciones de tercer y cuato grado también pueden construirse las soluciones de la ecuación sobre la clausura algebraica de \scriptstyle \mathbb{K} mediante el método de los radicales. Esto fue anticipado por Gerolamo Cardano, Tartaglia y Ludovico Ferrari, entre otros, en el siglo XVI. Sin embargo, para grado 5 o mayor, no tiene por qué existir una solución construible mediante el método de radicales, hecho probado por Évariste Galois a principios del siglo XIX.[9]

Conversión de coeficientes[editar]

Una ecuación algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos la ecuación de tercer grado:

-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3=0

multiplicando por tres toda la ecuación tenemos:

-21x^3 + 2x^2 - 15x + 9 = 0. \,\!

La forma estándar de este tipo de ecuación, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio:

x^3 + a_1 x^2 + a_2x + a_3 = 0

Si todos los otros coeficientes son enteros, entonces las raíces de la ecuación son enteros algebraicos.

Ecuaciones vinculadas[editar]

  • Si todas las soluciones de F=0 son soluciones de la ecuación G=0 se dice que esta es consecuencia de la anterior.

Por ejemplo, la ecuación

 (x-1^2(1-x^2)= 0

es consecuencia de la ecuación

2(x-1)^3- x(x-1)^2=0

.

En otros términos, si el conjunto solución de la ecuación F = 0 es parte del conjunto solución de la ecuación G = 0, esta es consecuencia de la ecuación F = 0.

  • Si todas las soluciones de F=0 son soluciones de la ecuación G=0 y recíprocamente se dicen que las dos ecuaciones son equivalentes.

Como ejemplo, la ecuación

x^3(x-1)^2 -(x-1)^2=0

y la ecuación

(x-1)^3(x^2+x+1)=0

son equivalentes; sus conjuntos solución son iguales.

  • Se indican ciertas ecuaciones equivalentes y ecuación consecuencia de otra
  1. La ecuación F+G=G es equivalente a la ecuación F = 0.
  2. F/G = 0 es equivalente a la ecuación F = 0
  3. FG = 0 es equivalente a las dos ecuaciones F= 0 y G = 0.
  4. La ecuación Fn = 0 es consecuencia de la ecuación F=0, donde n es entero positivo mayor que 2.
  5. La ecuación Fn = Gn es equivalente a la ecuación F = G si n es impar; y equivalente a las ecuaciones F=G y F= -G si n es par. [10]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. J. V.Uspensky. Teoría de ecuaciones. ISBN 968-18-2335-4
  2. Selzer, Samuel (15 de septiembre de 1970). Álgebra y geometría analítica (2ª edición). Buenos Aires: Nigar. p. 145. 
  3. a b Roig Sala, Bernardino; Vidal Meló, Anna; Pastor Gimeno, José; Alamar Penadés, Miguel; Sapena Piera, Almanzor; Gregori, Valentín; Estruch Fuster, Vicente Domingo (2005). Matemáticas básicas. Univ. Politéc. Valencia. p. 53. ISBN 9788497058629. 
  4. Uspenssky. Op. cit.
  5. Berio, Adriana; Colombo, María Lucila; D'albano, Carina; Sardella, Oscar; Zapico, Irene (2001). Matemática 1. Buenos Aires, Argentina: Puerto de Palos. p. 158. ISBN 9875470260. 
  6. De la Puente Muñoz, María Jesús (2007). Curvas algebraicas y planas (1ª edición). Servicio Publicaciones UCA. p. 40. ISBN 9788498281354. 
  7. Lelong-Ferrand, Jacqueline; Arnaudiès, Jean Marie (1979). «Polinomio en una o varias variables». Álgebra. Curso de matemáticas I (2ª edición). Barcelona: Reverté. p. 171. ISBN 9788429150650. 
  8. Uspensky. Libro mencionado
  9. Sullivan, J. (2006). «Polinomios y funciones racionales». Álgebra y Trigonometria (7ª edición). Pearson Educación. p. 374. ISBN 9789702607366. 
  10. Gustafson. álgebra intermedia. ISBN 970-686-553-5