Ecuación algebraica

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Las soluciones de una ecuación algebraica de una variable corresponden a los puntos de una curva, que «tocan o cortan» al eje horizontal.

Una ecuación algebraica es un polinomio P(x), con coeficientes reales o complejos, [1] igualado a cero.[2] [3] . Donde x denota un número desconocido que la satisface, esto es que reemplazado en P(x) da cero como resultado. Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz; el problema de resolver una ecuación significa hallar todas sus raíces. Cuando el grado del polinomio es n se dice que la ecuación correspondiente es de grado n. [4]

Por ejemplo, el polinomio con coeficientos enteros

P(x) = x^3 - 6x - 8

determina la ecuación P(x)=0, es decir, x^3 - 6x - 8 = 0. Las soluciones de esta ecuación determinan las raíces del polinomio, las cuales se interpretan geométricamente como sigue.

La gráfica de la función polinómica y = P(x) es una curva, donde las raíces del polinomio son los puntos de la curva que coinciden con el eje horizontal x.[3] [5]

Puede darse que el polinomio tenga más de una indeterminada. Tómese como ejemplo el siguiente polinomio

P(x,y) = x^2 + 3xy - 4y^2 + 1

que determina una ecuación algebraica de segundo grado y dos variables sobre el cuerpo de los números racionales. En este caso, las soluciones de P(x,y)=0 son pares ordenados que determinan un lugar geométrico en el plano, generalmente una curva algebraica.[6]

Definiciones[editar]

En matemáticas, un polinomio algebraico en un cuerpo es un polinomio con coeficientes en ese cuerpo.

Formalmente, si \mathbb{K} es un cuerpo y X=\{x_1,x_2,\dots,x_n\} un conjunto de indeterminadas, \mathbb{K}[X] es otro conjunto, que resulta de adjuntar los elementos de X al cuerpo. Este es un anillo de polinomios que contiene a los polinomios algebraicos. Sea P(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{K}[X] uno de estos polinomios.

La igualdad P(x_1,x_2,\dots,x_n) = 0 es una ecuación algebraica.

Como \left(\mathbb{K}[X], +, \cdot\right) es un anillo, todo elemento de \mathbb{K}[X] tiene un inverso aditivo. Esto quiere decir que, dados P_1(x_1,x_2,\dots,x_n), P_2(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{K}[X], siempre se puede construir un tercer polinomio

\begin{array}{rclcc}
 R(x_1,x_2,\dots,x_n) &=& P_1(x_1,x_2,\dots,x_n) &+& [ - P_2(x_1,x_2,\dots,x_n) ] \\
 R(x_1,x_2,\dots,x_n) &=& P_1(x_1,x_2,\dots,x_n) &-& P_2(x_1,x_2,\dots,x_n)
\end{array}

donde -P denota al elemento inverso de P con respecto a la operación +.[7] Por definición, igualar el polinomio R a cero equivale a plantear una ecuación algebraica. Este razonamiento da lugar al siguiente teorema.

La igualdad P_1(x_1,x_2,\dots,x_n) = P_2(x_1,x_2,\dots,x_n) es una ecuación algebraica.

En el caso más simple, el cuerpo es \mathbb{Q}, el conjunto de los números racionales. En este caso, los polinomios algebraicos son aquellos con coeficientes racionales. Por ejemplo:

P(x)=-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3

cumple P(x) \in \mathbb{Q}[x]. Dicho de otro modo, es un polinomio algebraico en los racionales, con x como indeterminada, y por lo tanto P(x) = 0 es una ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Ecuaciones de una variable[editar]

Consideraciones genéricas[editar]

Según los valores que asuma  n = 1, 2, 3, 4,...,etc. surgen las ecuaciones de la forma

a_0x+a_1=0
a_0x^2+a_1x+a_2=0
a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0
a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_$=0

de grado 1, 2, 3, 4, etc. o ecuaciones lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, etc. Se asume que el coeficiente principal a_0 es distinto de cero; aunque ninguna condición se establece para los demás coeficientes. [8]

Resolver ecuaciones algebraicas de una sola variable es relativamente sencillo para los grados 1 y 2.

Factorización[editar]

Si k es una raíz de la ecuación

P(x)=0

se deduce del teorema del resto que P(x)es divisible por (x-k) y se cumple

P(x)=(x-k)P_1(x)

donde P_1(x) es un polinomio de grado n-1.

Si k_1 es otra raíz distinta de k se obtiene

P(x)=(x-k)(x-k_1)P_2(x)

donde P_2(x) es un polinomio de grado n-2. Y así sucesivamente.

Primer grado[editar]

Una ecuación de primer grado siempre tiene solución sobre un cuerpo \scriptstyle \mathbb{K}. Es decir, la ecuación:

ax+b = 0

siempre admite la solución \textstyle x = -\frac{b}{a} que es un elemento de \scriptstyle \mathbb{K}.

Segundo grado[editar]

Una ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0

no siempre admite solución sobre \scriptstyle \mathbb{K}, aunque sí la admite sobre su clausura algebraica (si se trata de un cuerpo de característica nula). Existen a lo sumo dos soluciones, dadas por:

x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \qquad
x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Puede ser que alguna de las soluciones anteriores, definibles sobre la clausura algebraica no son números del cuerpo \scriptstyle \mathbb{K}. Por ejemplo la ecuación:

x^2 - 2 = 0

No admite solución sobre \scriptstyle \mathbb{Q} pero sí la admite sobre su clausural algebraica y también sobre \scriptstyle \R (ya que contiene a la clausura algebraica de \scriptstyle \mathbb{Q}).

Ecuaciones de mayor grado[editar]

Para ecuaciones de tercer y cuato grado también pueden construirse las soluciones de la ecuación sobre la clausura algebraica de \scriptstyle \mathbb{K} mediante el método de los radicales. Esto fue anticipado por Gerolamo Cardano, Tartaglia y Lodovico Ferrari, entre otros, en el siglo XVI. Sin embargo, para grado 5 o mayor, no tiene por qué existir una solución construible mediante el método de radicales, hecho probado por Évariste Galois a principios del siglo XIX.[9]

Conversión de coeficientes[editar]

Una ecuación algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos la ecuación de tercer grado:

-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3=0

multiplicando por tres toda la ecuación tenemos:

-21x^3 + 2x^2 - 15x + 9 = 0. \,\!

La forma estándar de este tipo de ecuación, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio:

x^3 + a_1 x^2 + a_2x + a_3 = 0

Si todos los otros coeficientes son enteros, entonces las raíces de la ecuación son enteros algebraicos.

Ecuaciones vinculadas[editar]

  • Si todas las soluciones de F=0 son soluciones de la ecuación G=0 se dice que esta es consecuencia de la anterior.

Por ejemplo, la ecuación

 (x-1^2(1-x^2)= 0

es consecuencia de la ecuación

2(x-1)^3- x(x-1)^2=0

.

En otros términos, si el conjunto solución de la ecuación F = 0 es parte del conjunto solución de la ecuación G = 0, esta es consecuencia de la ecuación F = 0.

  • Si todas las soluciones de F=0 son soluciones de la ecuación G=0 y recíprocamente se dicen que las dos ecuaciones son equivalentes.

Como ejemplo, la ecuación

x^3(x-1)^2 -(x-1)^2=0

y la ecuación

(x-1)^3(x^2+x+1)=0

son equivalentes; sus conjuntos solución son iguales.

  • Se indican ciertas ecuaciones equivalentes y ecuación consecuencia de otra
  1. La ecuación F+G=G es equivalente a la ecuación F = 0.
  2. F/G = 0 es equivalente a la ecuación F = 0
  3. FG = 0 es equivalente a las dos ecuaciones F= 0 y G = 0.
  4. La ecuación Fn = 0 es consecuencia de la ecuación F=0, donde n es entero positivo mayor que 2.
  5. La ecuación Fn = Gn es equivalente a la ecuación F = G si n es impar; y equivalente a las ecuaciones F=G y F= -G si n es par. [10]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. J. V.Uspensky. Teoría de ecuaciones. ISBN 968-18-2335-4
  2. Selzer, Samuel (15 de septiembre de 1970). Álgebra y geometría analítica (2ª edición). Buenos Aires: Nigar. p. 145. 
  3. a b Roig Sala, Bernardino; Vidal Meló, Anna; Pastor Gimeno, José; Alamar Penadés, Miguel; Sapena Piera, Almanzor; Gregori, Valentín; Estruch Fuster, Vicente Domingo (2005). Matemáticas básicas. Univ. Politéc. Valencia. p. 53. ISBN 9788497058629. 
  4. Uspenssky. Op. cit.
  5. Berio, Adriana; Colombo, María Lucila; D'albano, Carina; Sardella, Oscar; Zapico, Irene (2001). Matemática 1. Buenos Aires, Argentina: Puerto de Palos. p. 158. ISBN 9875470260. 
  6. De la Puente Muñoz, María Jesús (2007). Curvas algebraicas y planas (1ª edición). Servicio Publicaciones UCA. p. 40. ISBN 9788498281354. 
  7. Lelong-Ferrand, Jacqueline; Arnaudiès, Jean Marie (1979). «Polinomio en una o varias variables». Álgebra. Curso de matemáticas I (2ª edición). Barcelona: Reverté. p. 171. ISBN 9788429150650. 
  8. Uspensky. Libro mencionado
  9. Sullivan, J. (2006). «Polinomios y funciones racionales». Álgebra y Trigonometria (7ª edición). Pearson Educación. p. 374. ISBN 9789702607366. 
  10. Gustafson. álgebra intermedia. ISBN 970-686-553-5