Ecuación algebraica

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Una ecuación algebraica en un cuerpo dado es una ecuación de la forma

P = 0 \,

donde P es un polinomio en ese cuerpo (posiblemente con varias variables). Por ejemplo:

x^2 + 3xy - 4y^2 + 1 = 0 \,

es una ecuación algebraica de segundo grado y dos variables sobre el cuerpo de los números racionales.

Polinomio algebraico[editar]

En matemáticas, un polinomio algebraico en un cuerpo es un polinomio con coeficientes en ese cuerpo. En el caso más simple, lo que a menudo significa mientras no se especifique otro, el cuerpo es \mathbb{Q}, el cuerpo de los números racionales, en este caso los polinomios algebraicos son aquellos con coeficientes racionales. Por ejemplo:

-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3

es un polinomio algebraico en los racionales.

Conversión de coeficientes[editar]

Una ecuación algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos la ecuación de tercer grado:

-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3=0

multiplicando por tres toda la ecuación tenemos:

-21x^3 + 2x^2 - 15x + 9 = 0. \,\!

La forma estandar de este tipo de ecuación, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio:

x^3 + a_1 x^2 + a_2x + a_3 = 0

Si todos los otros coeficientes son enteros, entonces las raíces de la ecuación son enteros algebraicos.

Ecuaciones trascendentes[editar]

Considerando la ecuación

e^T x^2+\frac{1}{T}xy-5\sin(T)z -2 =0,

ésta no es una ecuación algebraica en cuatro variables (x, y, z y T) en el cuerpo de los números racionales debido a que el seno, la exponenciación y 1/T no son funciones polinomiales. En este caso se está tratando con ecuaciones trascendentes.[1] Sin embargo si es una equación algebraica en \mathbb{Q}((T)), el cuerpo de la serie formal de Laurent con T en los números racionales.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Chandra, Suresh (2003) (en inglés). Computer applications in physics with Fortran and Basic. Ilustrada (2a edición). Alpha Science Int'l Ltd.. p. 152. ISBN 9781842651643. http://books.google.com.mx/books?id=tQHmKsosos4C. Consultado el 11 de noviembre de 2011.