Triángulo armónico de Leibniz

El triángulo armónico de Leibniz es una ordenación triangular de fracciones unitarias cuyas diagonales exteriores están formadas por los inversos de los sucesivos números de fila y cada uno de los elementos interiores es igual a la diferencia entre el elemento superior izquierdo y el elemento directamente a la izquierda y la celda situada directamente a su izquierda. En notación algebraica, L(f, 1) = 1/f (where f es el número de fila, empezando por 1, y c es el número de columna, nunca superior a f) y L(f, c) = L(f − 1, c − 1) − L(f, c − 1).

Valores

Las ocho primeras filas son:

${\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}$

Los denominadores están enumerados en (sucesión A003506 en OEIS), mientras que los numeradores son todos unos.

Elementos

Los elementos están definidos por la relación de recurrencia

$a_{n,1}={\frac {1}{n}},$

$a_{n,k}={\frac {1}{n{\binom {n-1}{k-1}}}},$

y de forma explícita por

$a_{n,k}={\frac {1}{{\binom {n}{k}}k}},$

donde ${\binom {n}{k}}$ es un coeficiente binomial.​

Relación con el triángulo de Pascal

Mientras que cada elemento del triángulo de Pascal es igual a la suma de los dos inmediatamente superiores, cada elemento del triángulo de Leibniz es igual a la suma de los dos inmediatamente inferiores. Por ejemplo, el elemento 1/30 de la quinta fila es igual a la suma de los dos elementos 1/60 de la sexta fila.

Al igual que el triángulo de Pascal, el de Leibniz también se puede calcular en función de coeficientes binomiales: $L(f,c)={\frac {1}{f{f-1 \choose c-1}}}$. Es más, los elementos de este triángulo se pueden calcular directamente a partir de elementos del triángulo de Pascal: «Los elementos de cada fila son iguales al elemento inicial dividido entre los elementos correspondientes del triángulo de Pascal».​ De hecho, las diagonales están relacionadas con las diagonales correspondientes del triángulo de Pascal: los elementos de la primera diagonal del triángulo de Leibniz son iguales a 1/(1 · los números naturales), los de la segunda diagonal son 1/(2 · los números triangulares), los de la tercera diagonal son 1/(3 · los números tetraédricos), etc.

Además, cada elemento del triángulo armónico es igual al inverso del elemento correspondiente del triángulo de Pascal multiplicado por el inverso de su fila: $L(f,c)={\frac {1}{P(f,c)}}\times {\frac {1}{f}}$.

Serie infinita

La suma infinita de todos los elementos de cualquier diagonal es igual al primer elemento de la diagonal anterior, es decir, $\sum _{f=c}^{\infty }L(f,c)=L(c-1,c-1)$, ya que se puede utilizar la relación de recurrencia para «telescopar» la serie como $\sum _{f=c}^{\infty }L(f,c)=\sum _{f=c}^{\infty }L(f-1,c-1)-L(f,c-1)=L(c-1,c-1)-{\cancelto {0}{L(\infty ,c-1)}}$ donde $L(\infty ,c-1)=\lim _{f\to \infty }L(f,c-1)=\lim _{f\to \infty }{\frac {1}{f{f-1 \choose c-2}}}=0$.

${\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&{\color {red}1}&&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\color {blue}{\frac {1}{2}}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{3}}&&{\color {blue}{\frac {1}{6}}}&&{\frac {1}{3}}&&&\\&&&{\frac {1}{4}}&&{\color {blue}{\frac {1}{12}}}&&{\frac {1}{12}}&&{\color {red}{\frac {1}{4}}}&&\\&&{\frac {1}{5}}&&{\color {blue}{\frac {1}{20}}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\color {blue}{\frac {1}{5}}}&\\&{\frac {1}{6}}&&{\color {blue}{\frac {1}{30}}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\color {blue}{\frac {1}{30}}}&&{\frac {1}{6}}\\&&&&\vdots &&&&\vdots &&&\\\end{array}}$

Por ejemplo,

${\color {blue}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+...}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...={\color {red}1}$

${\color {blue}{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{105}}+...}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{20}}-{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{60}}-{\frac {1}{140}}+...={\color {red}{\frac {1}{4}}}$

Al sustituir la fórmula con los coeficientes, se obtiene la serie infinita $\sum _{f=c}^{\infty }{\frac {1}{f{f-1 \choose c-1}}}={\frac {1}{c-1}}$; el primer ejemplo dado aquí apareció por primera vez en la obra de Leibniz alrededor de 1694​

Propiedades

Si se toman los denominadores de la n-ésima fila y se suman, el resultado es $n2^{n-1}$. Por ejemplo, en la tercera fila, los denominadores son 3, 6 y 3, y su suma es 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 2².

También se tiene la siguiente igualdad: $L(f,c)=\int _{0}^{1}\!x^{c-1}(1-x)^{f-c}\,dx.$

Referencias

• Datos: Q649470