Tabla de Cayley

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

La tabla de Cayley de un grupo finito es una tabla que describe cómo es la operación de dicho grupo. Presenta una estructura muy similar a la famosa tabla pitagórica.

Fueron introducidas por Arthur Cayley en un artículo de 1854 («On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θ n = 1»), en el que describe cualquier grupo en término de permutaciones. [1]

Estructura de la tabla[editar]

Dado el grupo finito G={g1, g2, ..., gn}, su tabla de Cayley tendrá n filas y n columnas. En la fila i, columna j, aparece el resultado de la operación gi*gj (donde * es la operación del grupo).

Ejemplos[editar]

  • Tomamos G={0,1,2} con la operación suma módulo 3. Entonces su tabla de Cayley es:
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1

.

La tabla de Cayley para (S3, ) es:

id g2 g3 g4 g5 g6
id id g2 g3 g4 g5 g6
g2 g2 g1 g5 g6 g3 g4
g3 g3 g6 g1 g5 g4 g2
g4 g4 g5 g6 g1 g2 g3
g5 g5 g4 g2 g3 g6 g1
g6 g6 g3 g4 g2 g1 g5

Propiedades básicas[editar]

  • Un grupo es abeliano si y solo si su tabla de Cayley es simétrica.
  • En la tabla de Cayley, cada elemento del grupo aparece una y solo una vez en cada fila y cada columna. O sea que cada fila y columna es una permutación de los elementos del grupo. [2]

Referencias[editar]

  1. Aznar, Enrique. «Arthur Cayley». Consultado el 22 de noviembre de 2015. 
  2. Mariana Pereira; Gustavo Rama. «Notas de Matemática discreta 2». p. 44. Consultado el 22 de noviembre de 2015.