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Tabla de Cayley

De Wikipedia, la enciclopedia libre

La tabla de Cayley de un grupo finito es una tabla que describe cómo es la operación de dicho grupo. Presenta una estructura muy similar a la famosa tabla pitagórica.

Fueron introducidas por Arthur Cayley en un artículo de 1854 («On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θ n = 1»), en el que describe cualquier grupo en término de permutaciones.[1]

Estructura de la tabla

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Dado el grupo finito G={g1, g2, ..., gn}, su tabla de Cayley tendrá n filas y n columnas. En la fila i, columna j, aparece el resultado de la operación gi*gj (donde * es la operación del grupo).

Ejemplos

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  • Tomamos G={0,1,2} con la operación suma módulo 3. Entonces su tabla de Cayley es:
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1

.

La tabla de Cayley para (S3, ) es:

id g2 g3 g4 g5 g6
id id g2 g3 g4 g5 g6
g2 g2 g1 g5 g6 g3 g4
g3 g3 g6 g1 g5 g4 g2
g4 g4 g5 g6 g1 g2 g3
g5 g5 g4 g2 g3 g6 g1
g6 g6 g3 g4 g2 g1 g5

Propiedades básicas

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  • Un grupo es abeliano si y solo si su tabla de Cayley es simétrica.
  • En la tabla de Cayley, cada elemento del grupo aparece una y solo una vez en cada fila y cada columna. O sea que cada fila y columna es una permutación de los elementos del grupo.[2]

Referencias

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  1. Aznar, Enrique. «Arthur Cayley». Consultado el 22 de noviembre de 2015. 
  2. Mariana Pereira; Gustavo Rama. «Notas de Matemática discreta 2». p. 44. Consultado el 22 de noviembre de 2015.