Raíz cuadrada

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Notación matemática de raíz cuadrada de x.

En matemáticas, se llama raíz cuadrada de un número positivo a un segundo número positivo que al multiplicarlo por sí mismo resulta el valor del primero, es decir, que es un segundo número que al elevarlo al cuadrado es igual al primero. Abreviado como raíz tiene el símbolo: \sqrt{\ }. Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con exponente ½. El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos los reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten sólo dos raíces cuadradas.

Historia[editar]

Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.[1] En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.[2] Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.

Los babilonios aproximaban raíces cuadradas haciendo cálculos mediante la media aritmética reiteradamente. En términos modernos, se trata de construir una sucesión a_0, a_1, a_2, a_3, \dots dada por:

a_{n+1}= \frac{1}{2}\left(a_n+\frac{a}{a_n}\right). [3]

Puede demostrarse que esta sucesión matemática converge a_n \to \sqrt{a} (como valor inical a_0 puede tomarse con buena aproximación el entero más cercano al valor de la raíz cuadrada). Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época.

Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra). La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz.

Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las herramientas matemáticas más elementales hoy en día.

David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente:

"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".[4]

Según Julio Rey Pastor y José Babini, Catald calcula en 1613 raíz cuadrada aproximando por fracciones continuas, como aparece en la obra común Historia de la Matemática.

El símbolo de la raíz cuadrada (\sqrt{\ }) fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación[5] [6] que aparece en su libro Coss, siendo el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando.

Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos.

Función raíz cuadrada[editar]

La gráfica de la función  f(x) = + \sqrt x es una semiparábola con directriz vertical.

La raíz cuadrada permite definir una función real sobre los números no negativos, para cada número real x esta función se define como el único número no negativo y que elevado al cuadrado es igual a x. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado. La función raíz cuadrada de x se expresa equivalente de las siguientes maneras:

 y = \sqrt x,\qquad  y = x^{\frac{1}{2}}

Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no es un número racional a menos que el número entero sea un cuadrado perfecto, como por ejemplo:

 \sqrt{16} = 4, \quad \sqrt{64} = 8, \quad \sqrt{144} = 12

ya que:

 16 = 4\times 4 = 4^2, \quad 64 = 8\times 8 = 8^2, \quad 144 = 12\times 12 = 12^2

El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchos números era un número irracional se atribuye a los pitagóricos. Los babilonios y egipcios ya disponían de medios de estimar numéricamente la raíz cuadrada, pero su interés parece haber sido eminentemente práctico por lo que no parecen existir referencias sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser expresada como cociente de dos números enteros.

Propiedades generales[editar]

Gráfica de la ecuación:  y^2 = x

La función raíz cuadrada  f(x) = \sqrt{x} es una función cuyo dominio e imagen es el conjunto \left[0,\infty\right) (el conjunto de todos los números reales no negativos). Esta función regresa un valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:

  • \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
  • \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
  • La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; \sqrt x es racional si y sólo si x\, es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es 1^2 = 1\,, entonces se trata de un número natural. Sin embargo, \sqrt 2 es irracional.
  • La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.
  • Contrariamente a la creencia popular, \sqrt{x^2} no necesariamente es igual a x. La igualdad se mantiene sólo para los números no negativos x, pero cuando x < 0, \sqrt{x^2} es un número positivo, y entonces \sqrt{x^2} = -x. Por lo tanto, \sqrt{x^2} = \left|x\right| para todos los números reales x (véase valor absoluto).
  • Suponga que x y a son números reales, y que x^2 = a, y se desea encontrar x. Un error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que x = \sqrt a. Esto es incorrecto, porque la raíz cuadrada de x^2 no es x, sino el valor absoluto \left| x \right|, una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que \left| x \right| = \sqrt a, o equivalentemente x = \pm\sqrt a.
  • En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado):
\sqrt x - \sqrt y = \frac{x-y}{\sqrt x + \sqrt y}
y es válida para todos los números no negativos x e y que no sean ambos cero.
  • La función \sqrt x es continua para todos los números no negativos x, y derivable para todos los números positivos x (no es derivable para x=0 ya que la pendiente de la tangente ahí es ). Su derivada está dada por
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}
\sqrt{x+1}\,\!  = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^2 4^n}x^n
 =  1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots
converge para \left| x \right| < 1.

Irracionalidad de las raíces cuadradas[editar]

Una propiedad importante de la raíz cuadrada de los números enteros es que, si estos no son cuadrados perfectos, sus raíces son siempre números irracionales, que son números no expresables como el cociente de dos números enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional, nunca un número racional.

Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie de factores primos elevados a diversos exponentes. De ser todos pares, las propiedades de la potenciación permiten reducir la raíz a un número natural. Sólo si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural.

Si \sqrt n fuera racional se debería poder expresar como \frac{p}{q} con p, q enteros y primos entre sí. Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que n = \frac{p^2}{q^2}, lo que es absurdo, pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto p^2 como q^2 se expresan en función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares.

Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, atribuida a Hipaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras. La idea, contraria a lo esperado en la matemática de entonces, supuso la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica.

No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1, siendo fácil la construcción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la matemática helénica se centró en la geometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ése. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva su nombre, que permite representar gráficamente cualquier raíz, y posteriormente Euclides llegó a un método más general.

Radicales jerarquizados cuadrados[editar]

En diferentes contextos se utilizan radicales de la forma

\sqrt{A + \sqrt{B}}

que en algunos casos puede ser escritos en la forma

\sqrt{A + 2\sqrt{B}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}

lo que es factible si sólo si x + y = A, xy = B .[7] [8] Las expresiones anteriores se denominan radicales jerarquizados.

La identidad 2=\sqrt{2+2} implica que 2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}, y por repeticiones sucesivas:

2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}

Por razones análogas se obtiene:

3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}};

o que

4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}};

Si r es una entidad estrictamente superior a uno,

r =\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}

Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números famosos como el número áureo o el número pi[9] .

Fracciones continuas[editar]

Uno de los resultados más intrigantes del estudio de números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange descubrió que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado se puede representar por una fracción continua periódica, es decir, donde ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los denominadores. En un sentido estas raíces cuadradas son números irracionales mucho más simples, porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple.


\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}\,

Aproximaciones enteras[editar]

Los diseñadores de presentaciones de videojuegos tienen a veces necesidad de construir tablas de partes enteras de las raíces cuadradas de los enteros naturales. Las primeras dadas por:

CUADRADO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 15 16 17 ... 24 25 26 27
RAÍZ 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 ... 3 4 4 ... 4 5 5 5

Una observación de los primeros términos ponen de manifiesto que la construcción para de enteros en enteros, y se salta sucesivamente un incremento de manera regular. Más precisamente:

  • El cero es repetido una vez.
  • El 1 tres veces.
  • El 2 cinco veces
  • El 3 siete veces.
  • El 4 nueve veces.

El número de veces que el entero n es repetido es el n-ésimo entero impar. La prueba reside sobre la identidad siguiente:

 (a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,

Extensión de la función raíz cuadrada[editar]

La raíz cuadrada en los números complejos[editar]

Raíz cuadrada compleja.
Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja.
Usando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada, se puede ver como encajan las dos hojas.

El cuadrado de cualquier número real positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada en los números reales. Sin embargo, es posible trabajar con un sistema más grande de números, llamados los números complejos, que contienen soluciones a la raíz cuadrada de un número negativo. Esto es hecho introduciendo un nuevo número, denotado por i (a veces j, especialmente en el contexto de la electricidad) y llamado unidad imaginaria, que se define tal que i^2 = -1\,\!. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i)^2= i^2 = -1\,\!, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, se dice que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

    \sqrt{-x} =    \sqrt{-1}\sqrt{x} =    i\sqrt{x}

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que i^2 = -1\,\!, por lo que entonces:


   \left(i\sqrt{x}\right)^2 =
   i^2\sqrt{x}^2 =
   (-1)x =
   -x

Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad en donde uno quiera


   \sqrt{\pm ix} =
   \sqrt{\frac{x}{2}}\pm i\sqrt{\frac{x}{2}}

Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir \sqrt zpara ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.

Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que w^2 =  Z\,\!. Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son:


   \sqrt{i} =
   \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)

y


   - \sqrt{i} =
   - \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)

La definición general de \sqrt z está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = reiφes representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:


   \sqrt{z} =
   \sqrt{r} \, e^{i\phi \over 2}

Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor para \sqrt{1+x} sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.

Ahora bien, sea un número complejo;


   z =
   \sqrt{x + iy}

de este modo podemos expresar lo siguiente;


   z =
   z_{re} + iz_{im} \;

elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación;


   x + iy =
   z_{re}^2 - z_{im}^2 + i2z_{im}z_{re}

de manera que obtenemos un sistema de ecuaciones, que puede ser resuelto;

  1.  z_{re}^2 - z_{im}^2 = x \;
  2.  2z_{im}z_{re} = y \;

en este sentido, y en general, para un número complejo expresado en forma rectangular, por medio de estas fórmulas se obtiene:


   \sqrt{x+iy} = \pm \left(
   \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} +
   i\ \sgn(y)\ \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}} \right)

donde \left|x+iy\right| = \sqrt{x^2+y^2} (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando (ver función signo (sgn)). Observe que debido a la naturaleza discontinua de la función de la raíz cuadrada en el plano complejo, la ley \sqrt{zw} = \sqrt z \cdot \sqrt w es en general falsa, y tiene toda potencia en un conjunto determinado. Es incorrecto si se asume que esta ley es la base de varias demostraciones inválidas, por ejemplo el demostrar que -1 = 1\,\!:


   -1 =
   i \cdot i =
   \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} =
   \sqrt{-1 \cdot (-1)} =
   \sqrt{1} =
   \pm 1

Donde la tercera igualdad tiene que ser vista como:


  \sqrt{1} = 1
  \longrightarrow \quad
  1 \cdot 1 =
  1^2 =
  1

  \sqrt{1} = -1
  \longrightarrow \quad
  (-1) \cdot (-1) =
  (-1)^2 =
  1

Al no considerarse, normalmente las dos ramas de la función raíz cuadrada, puede inducir a errores en la consideración de esta operación.

Cada número complejo se puede escribir en su forma polar como:


   re^{i\theta} \;

ya que


   ae^{i\alpha} \times be^{i\beta} =
   \left(
      ab
   \right)
   e^{i
   \left(
      \alpha + \beta
   \right)
   }

entonces es fácil ver que:


   \sqrt{re^{i\theta}} =
   \sqrt{r}~e^{i\frac{\theta}{2}}

Raíces cuadradas en los cuaterniones[editar]

Con los números complejos está asegurado que sólo existe un número finito de raíces n-ésimas de la unidad. Así por ejemplo -1 tiene sólo dos raíces complejas i e −i. Sin embargo, en los números cuaterniónicos \scriptstyle \mathbb{H} hay un número infinito de raíces cuadradas de -1: de hecho el conjunto de soluciones forma una esfera en el espacio tridimensional. Para ver esto, sea q = a + bi + cj + dk un cuaternión, y supóngase que su cuadrado es −1. En términos de a, b, c y d esa asunción implica que

a^2 - b^2 - c^2 - d^2 = -1,
2ab = 0,
2ac = 0,
2ad = 0.

Este conjunto de ecuaciones reales tiene infinitas soluciones. Para satisfacer las últimas tres ecuaciones debe tenerse que a = 0 o bien b = c = d = 0, sin embargo, esta última posibilidad no puede darse ya que al ser a un número real la primera ecuación implicaría que a2 = −1, pero eso es imposible para un número real. Por tanto a = 0 y b2 + c2 + d2 = 1. En otras palabras. Nótese que sólo un cuaternión que sea igual a un número real negativo puede tener un número infinito de raíces cuadradas. Todos los demás tienen sólo dos raíces (o en el caso del 0 una única raíz).

Lo anterior implica que la ecuación:

z_q^{2n} = 1, \qquad z_q\in\mathbb{H}, n\in\mathbb{N}.

tiene infinitas soluciones, situadas sobre la esfera unidad.

Raíz cuadrada de matrices[editar]

La existencia de un producto de matrices permite definir la raíz cuadrada de una matriz como aquella matriz B que multiplicada por sí misma da la original A, es decir, B2=A luego B=√A.

Raíz cuadrada en cuerpo finito[editar]

  • Primero definamos los cuadrados, por ejemplo en F[7] el conjunto de los restos enteros módulo 7, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. El signo = significa congruencia. [10] .. No todos todos los números de F[7] tienen.
  • 12 = 1; 22 = 4; 32 = 2; 42 = 2; 52 = 4; 62= 1; 02 = 0.
  • Diremos que a es la raíz cuadrada de b si a2 = b; se denota a = \sqrt{b} .
  • de la lista anterior se ve que
  1.  \sqrt{1} = 1;
  2.  \sqrt{1} = 6
  3.  \sqrt{2} = 3;
  4.  \sqrt{2} = 4;
  5.  \sqrt{4} = 2;
  6.  \sqrt{4} = 5;

Cálculo de raíces cuadradas[editar]

Partes de la Raiz Cuadrada.PNG

Hoy en día existen muchos métodos para calcular la raíz cuadrada, habiendo algunos aptos para el cálculo manual y otros mejor adaptados al cálculo automático.

Algoritmo[editar]

Cuando vamos a realizar la raíz cuadrada con su método de resolución usual podemos ver las partes en las que se divide, aunque las esenciales de ésta no tienen por qué aparecer o ser usadas solamente en la operación para ser calculada la raíz cuadrada. Según esta imagen, podemos ver que las partes de las que se compone; son:

  1. Radical: es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
  2. Radicando o cantidad subradical: es el número del que se obtiene la raíz cuadrada.
  3. Raíz: es propiamente la raíz cuadrada del radicando.
  4. Renglones auxiliares: nos ayudarán a resolver la raíz cuadrada.
  5. Resto: es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.

Utilizando logaritmos[editar]

Se simplifica el cálculo utilizando logaritmos y sus propiedades empleando la tablas de logaritmos o reglas de cálculo.

 \!\, \sqrt[2]{x} = \operatorname{antilog} \frac{\log(x)}{2} \,

Algoritmos para máquinas[editar]

Calculadoras, hojas de cálculo y otros softwares también se usan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Los programas de software ponen típicamente buenas rutinas en su ejecución para computar la función exponencial y el logaritmo natural o logaritmo, computándose después la raíz cuadrada de x usando la identidad:


   \sqrt{x} =
   e^{\frac{1}{2}\ln x} o \sqrt{x} =
   10^{\frac{1}{2}\log x}

Construcción geométrica de la raíz cuadrada[editar]

La raíz cuadrada de un número real se puede construir con regla y compás. En sus Elementos, Euclides (300 AC) dio la construcción de la media geométrica de dos cantidades en sus proposiciones II.14 y VI.13. Dado que la media geométrica de a y b es \sqrt{ab}, uno puede construir \sqrt{a} simplemente tomando b=1.

La construcción también fue dada por Descartes en su libro La Géométrie, vea la figura 2 en la segunda página.

Otro método de construcción geométrica (para las raíces de números naturales) usa triángulos rectángulos e inducción: \sqrt{1} = 1 puede, desde luego, ser construido, y una vez que \sqrt{x} ha sido construido, el triángulo con 1 y \sqrt{x} como catetos, tiene una hipotenusa de \sqrt{x+1}.

Pasos a seguir para la construcción geométrica[editar]

AO = 1, OB = a, OH = x

Para "calcular" geométricamente la raíz cuadrada de un número real dado, lo que se hace es una construcción, mediante regla y compás, de un segmento que mida la raíz cuadrada de la longitud de un segmento original que tenga por longitud ese valor real dado.

Los pasos a seguir son los siguientes:

  1. Trazamos un segmento OB\,\! de longitud a\,\!, es decir, de longitud igual al número del cual queremos calcular su raíz cuadrada.
  2. Extendemos el segmento OB\,\! en una unidad (según la longitud que hayamos tomado como unidad) de modo que tengamos el segmento AB\,\! de longitud a + 1\,\!.
  3. Trazamos un círculo que tenga como diámetro el segmento AB\!.
  4. En el punto O\,\! (que es donde empieza la extensión de longitud 1) trazamos una línea perpendicular a AB\!. Esta línea corta a la circunferencia en dos puntos. Sea H\,\! cualquiera de esos puntos. Entonces, resulta que el segmento OH\,\! tiene una longitud: OH = \sqrt a.

Esta construcción tiene su importancia en el estudio de los números constructibles.

Demostración de que OH es igual a la raíz cuadrada de OB[editar]

Para demostrar esta igualdad, demostraremos que los triángulos AOH\,\! y HOB\,\! son triángulos semejantes:

  1. El ángulo H\,\! es un ángulo recto (de 90º) ya que AB\,\! es la diagonal de un arco capaz.
  2. El segmento OH\,\! es perpendicular, por construcción, al segmento AB\,\!. O sea que los dos ángulos con vértice en O\,\!, BOH\,\! (el derecho en el diagrama) como HOA\,\! (el izquierdo en el diagrama) son ángulos rectos.
  3. La suma de todos los ángulos de un triángulo es igual a 180º.

Ahora teniendo en cuenta todo esto construimos el siguiente sistema de ecuaciones:

  1. 180 = 90 + B + (90 - H_i)\,\!
  2. 180 = 90 + A + H_i\,\!

Donde H_i\,\! es el ángulo superior del triángulo izquierdo del cual desconocemos su abertura, las otras letras representan los otros ángulos que desconocemos y el ángulo H_d\,\! se puede representar como la resta de 90 - H_i\,\! ya que 90º es el valor de H\,\! entero. Al resolver la primera ecuación vemos que:

180 = 90 + B + 90 - H_i\,\!;
H_i = B\,\!.

Con lo que ya demostramos que estos ángulos miden lo mismo y al resolver el segundo:

90 = A + H_i\,\!;
A = 90 - H_i\,\!.

Con lo que al ser 90 - H_i = H_d\,\! se saca que A = H_d\,\! y con esto queda demostrado que al medir todos los ángulos lo mismo son triángulos semejantes de manera A H_i O_i\,\! ~ H_d B O_d\,\!. Al poseer esta semejante los lados de los triángulos tienen una proporcionalidad igual para los tres lados tal que:

\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH} = \frac{HB}{AH}

Recordando que al construir geométricamente la raíz AO\,\! siempre valía 1, con lo que cogiendo lo que nos interesa desarrollamos:

\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH};
OB = OH^2\,\!;
OH = \sqrt{OB}.

Quedando demostrada

Raíces cuadradas útiles[editar]

Raíz cuadrada de 2.

Raíz cuadrada de 2[editar]

1^2+1^2 = x^2\,\!
x = \sqrt 2

Probablemente, la raíz cuadrada de 2 fue el primer número irracional descubierto, cuyo descubrimiento le costó la vida a un correligionario de Pitágoras. El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,4142135623. Aparece como seno y coseno de un ángulo de 45 grados sexagesimales. Hay varias fórmulas de recurrencia para hallar su valor aproximado. Una de ellas es el conocido método de la tangente de Newton. Su irracionalidad ya lo habían demostrado los griegos. Sin embargo, su fundamentación le debemos a Dedekind, Cantor en el siglo XX. Ciertamente, no viene a ser sino un límite igual que e, pi, tan útiles y esquivos porque nadie puede escribir sus infinitas cifras; pero basta con menos de 10 dígitos decimales para lo que hace la ciencia y tecnología.

Raíz cuadrada de 3[editar]

Mide raíz cuadrada de 3, la diagonal de un cubo cuyas aristas miden 1.

La raíz cuadrada de 3: \sqrt 3, también conocida como constante de Teodoro (por Teodoro de Cirene), es geométricamente el valor de la diagonal de un cubo cuyas aristas miden la unidad, pudiéndose demostrar con el teorema de Pitágoras. También es la hipotenusa de un triángulo rectángulo construible cuyos catetos miden raíz cuadrada de 2 y la unidad respectivamente.

El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,7320508075

Raíz cuadrada de 5[editar]

La raíz cuadrada de 5: \sqrt 5, aparece en la fórmula del número áureo, y es geométricamente la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente, comprobándose mediante el teorema de Pitágoras. Su valor con 10 cifras decimales por truncamiento es 2,2360679774.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Notas[editar]

  1. Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
  2. Joseph, G.G., cap. 8.
  3. Boyer: Historia de la matemática
  4. Smith, David Eugene, pag. 148.
  5. Boyer, Carl Benjamin. Historia de la matemática, trad:Mariano Martínez Pérez, Alianza Editorial, 1992, Pág 360, ISBN 84-206-8094-X e ISBN 84-206-8186-5.
  6. Ifrah, Georges. Historia universal de las cifras, Espasa-Calpe, 1997, Pág 1452, ISBN 978-84-239-9730-5 e ISBN 84-239-9730-8.
  7. Alencar Filho, Edgard de: Exercicios de Geometria Plana[1986]
  8. Bruño G. M.: Elementos de Geometría [1980]
  9. Elementos de Geometría de Bruño, pp. 148, 149 y 150
  10. Fraleigh: Algebra abstracta

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]