Dominio de definición

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Ilustración que muestra f, una función de dominio X a codominio Y. El óvalo pequeño dentro de Y es la imagen de f, a veces llamado rango de f.

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función f \colon X \to Y \, es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota \operatorname{Dom}_f\, o bien  D_f\,. En \R^n se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

Por otra parte, el conjunto de todos los resultados posibles de una función dada se denomina imagen de esa función.

Definición[editar]

El dominio de definición de una función f:XY se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamado codominio. Esto, escrito de manera formal:

 D_f = \; \left\{x \in X | \exists y \in Y: f(x)=y\right\}

Propiedades[editar]

Dadas dos funciones reales:

f \colon X_1 \to \R\, \qquad \mbox{y}\quad g \colon X_2 \to \R\,

Se tienen las siguientes propiedades:

  1. D_{(f+g)} = X_1\cap X_2
  2. D_{(f-g)} = X_1\cap X_2
  3. D_{(f\cdot g)}\ = X_1\cap X_2
  4. D_{(f/g)} = \{x\in (X_1 \cap X_2)| g(x) \neq 0\}

Cálculo del dominio de una función[editar]

Para el cálculo certero del dominio de una función, se debe introducir el concepto de restricción en el cuerpo real. Estas restricciones ayudarán a identificar la existencia del dominio de una función. Las más usadas son:

Raíz n-ésima de f(x)[editar]

No existe restricción si n es impar, pero si n es par, la función f(x) necesariamente deberá ser mayor o igual que cero, ya que las raíces negativas no están definidas en el cuerpo real. Por ejemplo:

y= \sqrt{7x-21}

El índice de la raíz es par (2), por tanto 7x-21 \geq 0; despejando, se tiene que x ≥ 3. El dominio entonces será el conjunto de todos los reales en el intervalo [3,+∞).

Logaritmo de f(x)[editar]

La restricción está al estudiar las propiedades de los logaritmos las cuales dicen que estos no están definidos para números negativos, por tanto toda función contenida dentro de un logaritmo debe ser necesariamente mayor estricto de cero. Por ejemplo:

\log (x^2-9)

Por la propiedad anteriormente citada, se observa que para que esta función exista, necesariamente x^2-9>0; despejando, se obtienen dos soluciones x>3 y x<-3. La unión de ambas soluciones representa el dominio de la función, que está definida como el conjunto (-∞, -3) U (3, +∞).

Fracciones[editar]

Otras propiedades de las matemáticas pueden ayudar a obtener el dominio de una función y excluir puntos donde esta no esté definida, por ejemplo, una función que tenga forma de fracción no estará definida cuando el denominador valga cero, ya que esto es una indeterminación.

Ejemplos[editar]

Algunos dominios de funciones reales de variable real:

f(x)=x^2 \,\! El dominio de esta función, así como el de cualquier función polinómica y exponencial, es \mathbb{R}.
f(x)= \frac{1}{x} El dominio de esta función es \mathbb{R}-\lbrace0\rbrace puesto que la función no está definida para x = 0.
f(x)= \log(x) \,\! El dominio de esta función es (0,{+}\infty) ya que los logaritmos están definidos sólo para números positivos.
f(x)= \sqrt{x} El dominio de esta función es \lbrack0,{+}\infty) porque la raíz de un número negativo no existe en el cuerpo de los reales.

Véase también[editar]

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