Conjunto imagen

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Ejemplo de imagen: La imagen del conjunto X es el conjunto Y, porque todos sus valores son imagen de alguno del conjunto X. Imágenes particulares de los valores: la imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será C y la de 4 será C también.
Ejemplo de Subconjunto imagen: Subconjunto imagen de X (D,B,A) dentro del conjunto Y (aquí Y no es imagen de X, porque no todos sus valores son imagen de algún valor del conjunto de X). Imágenes particulares de los valores: La imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será A, y C no es imagen de nadie (no tiene antiimagen).

En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función f \colon X \to Y \, es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como \rm{im}(f)\,, \operatorname{Im}_f\, o bien I_f\, y formalmente está definida por:

\operatorname{Im}_f := \left\{y \in Y \; | \; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}

Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si f:A\to B es una función, entonces la imagen del elemento a\in A es el elemento  f(a)\in B.

Diferencia con el contradominio[editar]

El conjunto imagen siempre es un subconjunto del contradominio.

Es importante diferenciar el concepto de contradominio del concepto de conjunto imagen.

Si f : X\to Y es una función, al conjunto Y de valores que podría tomar la función se conoce como contradominio, mientras que el conjunto imagen consta únicamente de los valores que realmente toma.

Por ejemplo, la función f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \ f(x) = x^2 tiene por contradominio el conjunto de todos los números reales, pero como nunca toma realmente valores negativos, el conjunto imagen está formado únicamente por los números reales no negativos.

En general, el conjunto imagen siempre es un subconjunto del codominio, y cuando éstos coinciden, se dice que la función es suprayectiva.

Véase también[editar]

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