Subconjunto

En matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A "está contenido" dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B.

Definición

En la imagen, se observa un conjunto de polígonos, dentro del cual pueden distinguirse algunos que son regulares. El conjunto de polígonos regulares en la imagen es un subconjunto del conjunto de todos los polígonos en la imagen.

Un conjunto A formado por algunos de los elementos de otro conjunto B es un subconjunto de este último:

Sean A y B dos conjuntos tal que cada elemento de A es también elemento de B. Entonces se dice que: A es un subconjunto de B, y se denota A ⊆ B B es un superconjunto de A, y se denota B ⊇ A

Otras maneras de decirlo son "A está incluido en B", "B incluye a A", etc.

Ejemplos.

El "conjunto de todos los hombres" es un subconjunto del "conjunto de todas las personas".

{1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}

{2, 4, 6, ...} ⊆ {1, 2, 3, ..} = N ( {Números pares} ⊆ {Números naturales} )

Subconjunto propio

Es obvio que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:

Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.

Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.

Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:

Sea A un subconjunto de B tal que A ≠ B. Entonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A ⊊ B. (A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B ⊋ A)

Todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.

También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A.

Conjunto potencia

La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado A constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes de A:

El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A: $\mathcal P (A)=\{B:\,B\subseteq A\}$

Cuando el conjunto A tiene un número finito de elementos, digamos |A| = n, el conjunto potencia también es finito y tiene 2ⁿ elementos.

Ejemplo. Dado el conjunto A = {a, b}, su conjunto potencia es:

$\mathcal P(A)=\{\emptyset,\,\{a\},\,\{b\},\,\{a,b\}\}$

Propiedades

El conjunto vacío, denotado como ∅, es subconjunto de cualquier conjunto.

Esto es debido a que "todo elemento de ∅ lo es de A" significa lo mismo que "∅ no tiene ningún elemento que no esté en A", y esto es cierto sea cual sea A ya que ∅ no tiene elementos.

Si cada elemento de un conjunto A lo es de otro conjunto B, y cada elemento de B a su vez lo es de otro conjunto C, entoces cada miembro de A pertenece también a C, o sea:

Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos, luego:

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A , entonces A = B.

Propiedades avanzadas

La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva (A ⊆ A); transitiva (A ⊆ B y B ⊆ C implican A ⊆ C); y antisimétrica (A ⊆ B y B ⊆ A implica A no es 'B).

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Conjunto
• Intersección de conjuntos
• Unión de conjuntos
• Diferencia de conjuntos
• Complemento de un conjunto

Referencias

• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. 

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• Esta obra deriva de la traducción de Subset, publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores de la Wikipedia en inglés.