Subconjunto

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En las matemáticas, un conjunto B es subconjunto de un conjunto A si B «está contenido» dentro de A. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A cuando B es un subconjunto de A.

Definición

La diferencia entre los conjuntos es enformando por los elementos que pertenecen a uno y al los otros no.
Otras maneras de decirlo son «B está incluido en A», «A incluye a B», etc.

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto del «conjunto de todas las personas».
{1, 3} {1, 2, 3, 4}
{2, 4, 6, ...} {1, 2, 3, ..} = N ( {Números pares} {Números naturales} )

Subconjunto propio[editar]

Es obvio que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:

Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.

Así, dados dos conjuntos A B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.

Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:

Sea A un subconjunto de B tal que AB. Entonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A B.
(A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B A)

Es obvio que todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.

También se utiliza la notación A B y B A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A B y B A; o subconjunto propio, A B y B A.[1]

Conjunto potencia[editar]

La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado A constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes de A:

El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A:

\mathcal P (A)=\{B:\,B\subseteq A\}

Cuando el conjunto A tiene un número finito de elementos, por ejemplo |A| = n, el conjunto potencia también es finito y tiene 2n elementos.

Ejemplo. Dado el conjunto A = {a, b}, su conjunto potencia es:

\mathcal P(A)=\{\emptyset,\,\{a\},\,\{b\},\,\{a,b\}\}

Propiedades[editar]

El conjunto vacío, denotado como , es subconjunto de cualquier conjunto.

Esto es debido a que «todo elemento de lo es de A» significa lo mismo que « no tiene ningún elemento que no esté en A», y esto es cierto sea cual sea A ya que no tiene elementos.

Si cada elemento de un conjunto A lo es de otro conjunto B, y cada elemento de B a su vez lo es de otro conjunto C, entonces cada miembro de A pertenece también a C, o sea:

Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos, luego:

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A , entonces A = B.

Propiedades avanzadas[editar]

La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva (A A); transitiva (A B y B C implican A C); y antisimétrica (A B y B A implican A = B).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. 

Enlaces externos[editar]