Intersección de conjuntos

La intersección de A y B es otro conjunto A ∩ B que contiene sólo los elementos que pertenencen tanto a A como a B.

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D :

P = {2, 4, 6, 8, 10,...}

C = {1, 4, 9, 16, 25, ...}

D = {4, 16, 36, 64, ...}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Definición

Intersección de dos conjuntos A y B.

Dados dos conjuntos A y B, la intersección de ambos, A ∩ B es un conjunto que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:

La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son los elementos comunes a A y B : $x\in A\cap B\text{ cuando }x\in A\text{ y }x\in B$

Ejemplo.

• Sean A = {5, λ, ♠, c} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es A ∩ B = {5, c}.

• Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección es C ∩ D = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3} = {8, 64, 512, ...}.

• Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez.

Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:

Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío: $A\cap B=\varnothing$

Generalizaciones

La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (más abajo), el orden en el que se intersequen los conjuntos es irrelevante:

$A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n=A_1\cap(A_2\cap(\ldots(A_{n-1}\cap A_n){\scriptstyle \ldots})$

La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez:

Sea M una familia de conjuntos. Su intersección ∩M se define como: $x\in\bigcap M\text{ si para cada }A\in M\text{ se tiene que }x\in A$

De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general:

A ∩ B = ∩M, donde M = {A, B}

A₁ ∩ ... ∩ A_n = ∩M, donde M = {A₁, ..., A_n}

La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:

$\bigcap M=\bigcap_{A\in M}A=\bigcap_{i\in I}A_i\text{ ,}$

donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, definiendo M como {A_i: i ∈ I}.

Propiedades

De la definición de intersección puede deducirse directamente:

Idempotencia. La intersección de un conjunto A consigo mismo es el propio A : A ∩ A = A La intersección de Ay B es un subconjunto de ambos: A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado: B ⊆ A implica A ∩ B = B

La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos A y B ∩ C es igual a la intersección de los conjuntos A ∩ B y C : (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntos B y A : A ∩ B = B ∩ A. Elemento absorbente. La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es ∅: A ∩ ∅ = ∅

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.

En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto: A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto: A ∩ (A ∪ B) = A

Teoría axiomática

En las teorías axiomáticas de conjuntos usuales, como ZFC o NBG, la existencia de la intersección de una familia de conjuntos no se postula de manera independiente, sino que se demuestra como consecuencia del esquema axiomático de reemplazo.

Referencias

• Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid. ISBN 84-7829-009-5. 
• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. 

Véase también

• Álgebra de conjuntos
• Conjunto
• Teoría de conjuntos